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log(对数)

log英语名词:logarithms。对数( logarithm的名词复数 )如果a^b=n,那么log(a)(n)=b。其中,a叫做“底数”,n叫做“真数”,b叫做“以a为底的n的对数”。 log对数函数。对数函数中n的定义域是n>0,零和负数没有对数;a的定义域是a>0且a≠1。

对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家纳皮尔(Napier,1550-1617年)男爵。

纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数。当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子:2^n

n=0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

10

11

12

13

14

......

1024

2048

4096

8192

16384

......

这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如,计算64×256的值,就可以先查询第一行的对应数字:64对应6,256对应8;然后再把第一行中的对应数字加和起来:6+8=14;第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有:64×256=16384。纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。常用对数表》,找到这两个复杂数的常用对数,再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路,不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索,纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》,向世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点。所以,纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”,理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749-1827)曾说对数可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。

基本定义

若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)

基本性质

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

5、log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)

对数推导

1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。

2、令log(a)(MN)=b,则有a^b=MN;

令log(a)(M)=c,log(a)(N)=d,则有a^c=M,a^d=N;

(a^c)*(a^d)=a^(c+d)=MN=a^b;

则c+d=b;推出log(a)(M)+log(a)(N)=log(a)(MN)。

3、令log(a)(M÷N)=b,则有a^b=M÷N;

令log(a)(M)=c,log(a)(N)=d,则有a^c=M,a^d=N;

(a^c)÷(a^d)=a^(c-d)=M÷N=a^b;

则c-d=b;推出log(a)(M)-log(a)(N) =log(a)(M÷N)。

4、令log(a)(M^n)=b,则有a^b=M^n; 令log(a)(M)=c,则有a^c=M;

a^b=M^n=(a^c)^n=a^(cn)

b=cn;

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)。

5、令log(a^n)(M)=b,则(a^n)^b=M,a^(nb)=M;

令log(a)(M)=c,则a^c=M;

a^c=M=a^(nb),则c=nb;

log(a)(M)=nlog(a^n)(M);

log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)。


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