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代数几何学

对于1元n次方程的解,我们有很好的结果,即 代数学基本定理:在复数域C内,任意1元n次方程一定有n个零点(重复了几次算几重)。但是,若把情况改变一下,由1元变成 n元,复数域变成任意基域K,现要讨论由m个n元方程构成的方程组在K内的公共零点的情况,容易发现,情况要比1元时复杂得多,此时,用相同的方法已无济于事,必须创造新的方法,融入新的思想。正是这样的内在的发展要求,使得代数几何在20世纪发生了一场革命,即 库恩意义上的范式的彻底改变。其中蕴涵的新的数学思想,不仅革新了代数几何本身,而且也革新了整个数学界的思考方式,给经典的数学家们在思想上带来了深深的震撼!

对于1元n次方程的解,我们有很好的结果,即 代数学基本定理:在复数域C内,任意1元n次方程一定有n个零点(重复了几次算几重)。但是,若把情况改变一下,由1元变成 n元,复数域变成任意基域K,现要讨论由m个n元方程构成的方程组在K内的公共零点的情况,容易发现,情况要比1元时复杂得多,此时,用相同的方法已无济于事,必须创造新的方法,融入新的思想。正是这样的内在的发展要求,使得代数几何在20世纪发生了一场革命,即 库恩意义上的范式的彻底改变。其中蕴涵的新的数学思想,不仅革新了代数几何本身,而且也革新了整个数学界的思考方式,给经典的数学家们在思想上带来了深深的震撼!

在20世纪数学史上,代数几何学(Algebraic Geometry)始终处于一个核心的地位,这从数学界的主要大奖之一,Fields奖( 菲尔兹奖)的获得者情况即可看出,从1936年颁发首届Fields奖算起,到2002年在中国举行的 国际数学家大会上颁发的第24届Fields奖为止,总共有45位40岁以下的青年数学家获奖,其中大约有1/3的人,其获奖的工作或多或少与代数几何有一定的联系,这说明代数几何的研究是相当活跃的,一直是Dieudonne意义上的主流数学。为什么代数几何的研究会常盛不衰?因为在代数几何有大量未解决的问题,而且这些难题涉及其他许多学科,正是这些难题和其他学科的刺激,使得代数几何充满了活力,充满了令人神往的创造的生长点。

Dieudonne把代数几何学的历史分为七个时期:

前史(prehistory,Ca.400BC-1630A.D),

探索阶段(Exploration,1630-1795),

射影几何的黄金时代(1795-1850),

Riemann( 黎曼)和双有理几何的时代(1850- 1866),

发展和混乱时期(1866-1920),

涌现新结构和新思想的时期(1920-1950),

最后的一个阶段,也就是代数几何史上最辉煌的时期, 层(sheaf)和概型(Scheme)的时代(1950-)。

代数几何学的对象原来是欧氏平面中的 代数曲线,即由 多项式P(x,y)=0定义的 轨迹,比如最简单的平面代数曲线 直线和 圆,古希腊时代就已经在研究 圆锥曲线和一些简单的三次,四次 代数曲线了。承前述可以看出,研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示,所以,真正意义上的研究还得从Descartes笛卡尔)和Fermat( 费马)创立几何图形的坐标表示开始说起,但这已经是17世纪的事情了。 解析几何学对于代数曲线和 曲面已经有相当完整的结果了,从Newton( 牛顿)开始已着手对三次代数曲线进行分类,共得出72类。

从这时起,分类问题便成为代数几何中的重要问题了,这些问题成为大量研究工作的推动力。但是,反过来,正是由于对三次的或四次的代数曲线进行的分类过于繁复,从而推动了解析几何学向代数几何学的过度,也就是在更加粗糙的水平上进行分类和进行一般的理论研究。

18世纪,AG(代表代数几何,以下类同)的基本问题是 代数曲线或 代数曲面的相交问题,相当于代数方程组中的 消元问题,这个时期得到的基本成果是Bezout定理(贝竹定理):

设X,Y是P^2中两支不同的曲线,次数分别为d和e,令X#Y={P_1, P_2,......P_s}是它们的交点, 在每个点处的 相交数分别记为 I(X,Y;P_j), 则

∑I(X,Y;P_j)=de。

随着19世纪 射影几何学的兴起,开始用 射影几何方法来研究代数曲线,其中引进了 无穷远点及虚点和用齐次多项式及 射影坐标P (X_0,X_1,X_2)=0来表示代数曲线,并且允许出现复坐标,1834年,德国数学家普吕克尔得出关于平面曲线的普吕克尔公式,这个公式把平面代数曲线的代数特征和几何特征联系起来了,如次数和拐点数等,特别是由此证明了一般三次代数曲线(即 椭圆曲线)皆有9个 拐点,1839年,他还发现四次曲线有28条二重切线,其中至多8条是实的。

上面就是前三个阶段代数几何学的一个概貌。

黎曼(Riemann)是对现代数学影响最大的数学家之一(之一甚至可以去掉),其中就包括对代数几何的深刻影响,Dieudonne甚至称Riemann这个时期的函数论研究是整个代数几何历史中最重要的一步,Riemann是通过研究Abel( 阿贝尔)函数论涉足代数几何的。他在研究 复变函数时,提出了 Riemann Surface ( 黎曼曲面)的概念 ,把Abel函数论和Riemann Surface的工作综合起来,Riemann把代数曲线作为Riemann Surface上的函数论来研究,并且引进第一个birational maps(双有理) 的不变量Genus( 亏格),只有在代数几何里才有 birational equivalence(双有理等价)概念,这就使得代数几何比微分几何或者拓扑更加的rigid( 刚性) 从而开辟了代数几何的新篇章。

通过genus,Riemann 又提出了Moduli( 模空间)的概念,现今这个东西可是大热门,并且和他的学生Roch(罗赫)得出了代数几何学中的一条中心定理Riemann-Roch定理 (黎曼-赫定理),此定理是说:设X为亏格g的曲线,D为X上的 除子则有:L(D)L(KD)=degD+1g,K是一 典范除子,以后对此定理的每一次推广都是代数几何中的一大进步,非常深刻的Atiyah-Singer指标定理 ( 阿蒂亚-辛格指标定理)是Riemann-Roch定理的颠峰,Atiyah-Singer指标定理横跨代数几何, 拓扑, 分析学, 偏微分方程, 多复变函数论等好几个核心数学领域,并且在物理学中Yang-Mills 场论(杨-米尔斯场论)中得到了重要的应用,但是,指标定理的根基还是在代数几何里面。

1866年,Riemann 因病去世,此时他才40岁,以Riemann的成绩来观之,足可见Riemann是何等的伟大!斯人已逝,数学上一个辉煌的时代也随之结束了。Riemann的成就被后来各种流派所继承,而作出比较重要的工作的是克勒布什(Clebsch),而他的学生 M.Noether(就是那个伟大的E.Noether- 诺特-的父亲)则用代数几何的观点来看待Riemann Surface,几何化的思想和强烈,而几乎同时,Dedkind( 戴德金)和Weber开辟了以 理想为基础代数方向,Kronecker( 克罗内克)则开辟了以 除子为基础的算术方向。这三个方向最后在Grothendieck( 格罗滕迪克)那里汇聚在一起,构成一个大一统的气势恢弘的抽象代数几何体系。

从19世纪80年代末起,意大利的代数几何学派继承了M.Noether的几何思想,开始了代数曲面的研究,学派的主要代表人物是Castelnuovo,Enriques和Severi,他们主要是进行 代数曲面的分类工作,与此同时法国数学家如Poincare( 庞加莱)和Picard(毕卡)却在用超越方法研究代数曲面。承前可以看出,Riemann 以后的人都是在尽力继承和推广Riemann 的工作,可以说Riemann 的主要思想是所有人的基础,而Riemann光于曲面的最重要的思想都与 复分析有关,所以,古典代数几何的一个大框架还是三维复射影空间CP^n中的代数曲线和曲面。

随着数学的发展,人们对高维空间的需要越来越明显,所以,代数几何中对高维代数簇的研究已不可避免,而且意大利几何学派的代数几何不够严密,急需牢靠的理论基础来支撑其只管的思想,意大利几何学派在分类代数曲面上已经走到了尽头,而在同时期,数学的另外一个分支, 代数数论却涌现出了许多新的思想,出现迅猛发展的势态。(经典)代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的 代数和 算术性质的,而高维代数簇是基本域K上代数方程组的解,比如一维 代数簇就是K上的代数曲线,考虑代数簇上的整数点,这就成了 数论问题,又根据德国F.Klein( 克莱因)的Erlangen 纲领( 爱尔兰根纲领),几何学是研究某些数学对象在某个 群作用不变量的理论,如果要寻找代数几何中的作用群的话,那么就代数簇之间的双有理变化群,所以,代数几何学的抽象化已经成了它继续向前发展的巨大动力和迫切需要。对其抽象化的工具也正在夜以继日的被锻造,抽象代数学之母E.Noether及其学派发展了一整套强大的抽象工具,E.Noether的学生Van Der Waerden首先把 抽象代数学引进代数几何里,接下来的一位重要人物是Zariski,他先是从师于意大利代数几何学派的Castelnuovo,但是对此学派工作的不严密性耿耿于怀,从而促使他立意改造古典的代数几何,先是在Lefchetz(莱夫西兹)的影响下用拓扑工具处理代数几何问题,但成效不大,后来了解到E.Noether及其学派的工作,大为振奋,遂集中精力运用代数方法重新改写古典的代数几何,《代数曲面》一书的完成标志着代数几何的抽象化真正开始了,也标志着代数几何研究进入了Zariski时代。

从这时起,代数几何里开始人才辈出,并且法国的Bourbaki学派在以后代数几何学发展的光辉岁月里扮演了一个主要角色,Bourbaki学派的主要代表人物之一Weil( 韦伊)用更加抽象的观点写了一部《代数几何基础》,Weil的本意是想用有限域上的代数几何学来解决代数数论的问题,却不料搞出了个Weil猜想(不是Deligne证明的那个Weil conjecture),为了证明这个猜想就特意写了这部抽象的书,从此,代数几何又进入了Bourbaki时代。后来Serre( 塞尔)评价那部书时说:这本三百页的巨著很难懂,而在20年后又被Grothendieck的更加难懂的《 代数几何原理》所代替“这个《代数几何原理》就是江湖上传说的EGA。 Weil在书中充分使用了E.Noether及其学派发展的交换代数理论和语言,提出了代数几何里的一些重要概念,是代数几何学发展中的一个里程碑。

所幸的是,书写出来后,先前那个猜想也被Weil证明了。这个事件意义重大,预示了以后的Bourbaki精神,为了抽象而抽象,而是有着具体的问题背景的,以此为出发点的抽象才是有意义的抽象,才有成效性,才能用来解决更加困难的问题。

代数几何沿着Weil的道路进行着它的抽象化征程,其间,Kodaira( 小平邦彦)用调和积分理论将Riemann-Roch定理由曲线推广到曲面,德国数学家Hirzebruch不久又用sheaf的语言和拓扑成果把它推广到高维复流形上,J-P.Serre在sheaf的基础上定义了一般的代数簇,使得代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间,从而在代数几何里引入了日后起重要作用的上同调理论,不过,Serre在代数几何里最重要的贡献,我觉得是吸引Grothendieck到代数几何里来。

自从Grothendieck介入代数几何后,代数几何的面貌完全改观,尽管在代数几何里王者辈出,但是,大家心目中的教皇只有一个,那就是伟大的Grothendieck。Grothendieck是法国数学家,Bourbaki成员,1928年生于德国柏林,由于第二次世界大战,致使他没有受到正规的大学阶段的数学训练。 1953年以前主要致力于泛函分析,创造了核空间,拓扑 张量积等概念,这些概念现于 泛函分析里十分基本和重要,一系列深刻的泛函分析工作就足以使他跻身于数学界的巨人行列,但是,他的影响更为深远的工作是后来在代数几何上划时代的贡献,代数几何学经过Van Der Waerden,Zariski, Weil和Serre等人的推广,代数簇已经完全抽象化了,但是,代数簇最彻底的推广则是Grothendieck在20世纪50年代末做出的,这就是他的抽象概型理论和强有力的上同调理论。仿射概型(Affine Schemes)是一个局部戴环空间(X,Ox),而且它同构于(作为局部戴环空间)某个环的谱。概型是局部戴环空间,在它中每点有一个开邻域U使得拓扑空间U和限制层Ox|U是一个Affine Schemes,X叫做概型(X,Ox)的承载拓扑空间,Ox叫做它的结构层。例如,若K是域,Spec K则是一个Affine Schemes,它的拓扑空间由一点组成,它的结构层由域K组成。Grothendick为了给它的这座大厦打下坚实的基础,和他的老师 Dieudonne合作写了一部四卷本的巨著,总共有7本书,这就是前面Serre提到过的”更加难懂的《代数几何原理》“,(《Ele\’ments de Ge\’ome\’trie Alge\’brique 》简称EGA,道上的朋友只要听到EGA,就知道你要说什么了),这是世界上概型和上同调最权威的参考文献,Dieudonne评价说:” Clearly, the theory of schemes includes ,by definition, all of commutative algebra as well as all of the theory of the varieties of Serre。“Scheme把代数几何和代数数域的算术统一到一个共同的语言之下,使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中的大量概念和思想以及技巧。

开始的时候,人们对Grothendieck这套庞大的抽象体系究竟有什么用感到非常的茫然,但是,在Deligne使用Grothendieck的理论证明了高维Weil猜想后(这是Weil的另外一个猜想,是有限域上高维代数簇的Riemann猜想的模拟),情形就发生了剧烈的变化,到了70年代末,这套概型语言和上同调机制已经被许多同行所熟悉和掌握,并已成为研究现代代数几何学与数论(主要是指算术几何)的通用语言和基本工具。1983年 Faltings(法尔斯廷)证明Mordell猜想也使用了这套机制,由此可见Grothendieck所建立的这套概型理论是多么的重要。1973年Deligne 证明的高维Weil猜想是特征P(有限域上)的算术几何的巨大进步,10年后Faltings所证明的Modell猜想则是特征0(整体域上)的算术几何的巨大突破,这里又一次说明了能解决具体问题的抽象才是好的抽象,才是有意义的,为抽象而抽象的工作最终将被人们遗弃。Grothendieck的另一个目标是致力于发展各种上同调理论,如Ladic上同调和etale上同调,以致最后他走向了”终极上同调不变量“,即动机理论(motive theory),使得所有其他的上同调理论都是它的一种表示或者化身(即它的具体化),这个理论随着1970年 Grothendieck的”金盆洗手“,也成了一个美丽的Grothendieck之梦。不过,已经由它产生了大量好的数学,如1970年Deligne和 R.Langlands猜想motives和自守表示之间的精确关系,A.Wiles的FLT( 费马大定理)的证明,本质上就是证明了这个猜想在 椭圆曲线所产生的2维 motievs的特殊情况,这个猜想使得motives和现今著名的Langlands纲领联系起来了,而且2002年菲奖得主Voevodsky的工作也与motives有关,Grothendieck的梦想或许有一天又会成为一个伟大的理论。

Grothendieck在代数几何学方面的贡献大致可分为10 个部分:

1连续与离散的对偶性;

2,Riemann-Roch-Grothendieck理论(主要是K理论与相交理论的关系);

3,Scheme theory;

4,拓扑斯(Topis theory);

5,Ladic上同调和etale上同调;

6,motives与motives的Galois Group(包括Grothendieck的圈范畴),

7,晶体与晶状上同调,de Rahm系数,Hodge系数理论;

8新的同伦代数,Topis的上同调;

9,稳和拓扑;

10,非交换的代数几何学,加罗瓦泰什缪勒理论。

这些思想被总结在EGA,SGA和FGA 以及其他大量的手稿中,EGA和SGA已经成为代数几何中的圣经了,EGA,SGA和FGA加起来大约有7500页。 Grothendieck的博大精深的理论还远远没有弄清楚,但是却已经产生了非常深刻的数学成果。代数几何学与其他许多学科都有着密切的联系,如 拓扑学微分几何,复几何,分析,代数,数论等,并且在现代理论物理中也有重要的应用,被Atiyah( 阿蒂亚)称为 21世纪的三大数学理论的算术几何更是与代数几何息息相关,抽象代数几何学必将在21世纪得到更进一步的发展,继续成为21世纪的主流数学领域。我国研究代数几何的人比较少,水平也比较低。代数几何学的震撼人心的魅力将会吸引一批有天才的人,去投身21世纪的数学辉煌时代的缔造工作。


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