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戈特弗里德莱布尼茨

  有人认为,莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分,而是微积分中使用的数学符号,因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差。莱布尼茨是历史上少见的通才,他的专长包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等领域。他本人是一名律师,经常往返于各大城镇,他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的。  由于莱布尼茨曾在德国汉诺威生活和工作过十多年,并且在汉诺威去世,所以为了纪念他和他的学术成就,2006年7月1日,也就是莱布尼茨诞生360周年的纪念日,汉诺威大学正式改名为汉诺威戈特弗里德威廉莱布尼茨大学。

  有人认为,莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分,而是微积分中使用的数学符号,因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差。莱布尼茨是历史上少见的通才,他的专长包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等领域。他本人是一名律师,经常往返于各大城镇,他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的。  由于莱布尼茨曾在德国汉诺威生活和工作过十多年,并且在汉诺威去世,所以为了纪念他和他的学术成就,2006年7月1日,也就是莱布尼茨诞生360周年的纪念日,汉诺威大学正式改名为汉诺威戈特弗里德威廉莱布尼茨大学。

  莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家,父亲是莱比锡大学的道德哲学教授,母亲出生在一个教授家庭。莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了,给他留下了丰富的藏书。莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化,阅读了许多著名学者的著作,由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。15岁时,他进了莱比锡大学学习法律,一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程,还广泛阅读了培根、开普勒伽利略、等人的著作,并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后,莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学,并获得了哲学硕士学位。  20岁时,莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年,他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章,其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟,但却闪耀着创新的智慧和数学才华。  莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。从1671年开始,他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系,尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。在出访巴黎时,莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞,决心钻研高等数学,并研究了笛卡儿费尔马、帕斯卡等人的著作。1673年,莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时,他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学,开始了对无穷小算法的研究,独立地创立了微积分的基本概念与算法,和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年,他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士,促成建立了柏林科学院并任首任院长。  1716年11月14日,莱布尼兹在汉诺威逝世,终年70岁。

  除了是一位出众的天才数学家之外,莱布尼茨亦是欧陆理性主义哲学的高峰。承断了西方哲学传统的思想,他认为世界,因其确定(换句话说,有关世界的知识是客观普遍和必然的)之故,必然是由自足的实体所构成。所谓的自足,是不依他物存在和不依他物而被认知。莱布尼茨的前辈斯宾诺莎以为实体只有一个,就是神/自然。莱布尼茨对此不敢苟同,原因之一是斯氏的泛神观和圣经的神学有明显冲突,其次,是因为斯氏的理论没有能够解决由笛卡儿以降的二元对立论,令世界出现了断层(他虽然强调世界为一,但没有说明这一个看来是二元对立的世界的一统是如何可能)。  莱布尼茨以为实体是多的,是无限多的。跟随亚里士多德的实体观,他以为实体是一命题的主语。在一个命题S是P中,S就是实体。因为实体是自足的,则它要包含所有可能的谓语,即是“...是P”。由此,我们可以推出,实体有四个特征:不可分割性、封闭性、统有性和道德性。  不可分割性是指,任何有广延的东西,即有长度的东西,都可以被分割。被分割了的东西分别包含了自己的全部可能性,并且自足,则有广延的东西的内容,即可能性要依附于他的部份的可能性。如此类推,则只要有广延性,就不自足,而要依他物而被知(对莱布尼茨来说,真正的知识就是要穷一物的可能性),就不是实体。故实体不可分割,是一没有广延的东西,在莱布尼茨的晚年著作中(Monadology),他称之为单子(Monad),单子的性质就是思(thought)。这广延的世界就是由无限多的单子构成。  封闭性是说每一单子必然是自足的,不依他而存在,而又包含了自己的全部可能性。则一单子不可能和另一单子有交互作用(interaction)。若一单子作用于另一单子,则后一单子有一可能性没有包括在该单子之内,即该单子没能自足的包含自己的全部内容,而要依附于他物。因为实体的定义,这是不可能的。故莱布尼茨说:“单子之间没有窗户。”  统有性是指每一单子都必然以某种角度(perspective)包括了全世界。因为世界是紧密的由因果所构成,故A作用于B,其实不单单是作用于B,而是全世界。如果说一单子的内容包括自身的全部可能,则每一单子均以该单子自身为中心指向全世界。而这个世界是一的,不等于说所有单子都是一样的,因为同一世界可以不同的角度来认知,而不失为一一统的世界。  最后,单子的道德性则较复杂。这个特性的提出是基于两个理由,一、是世界的一统性(unity),二、是世界的确定性。对于前者,所有的单子都包含全世界,但各以自己的角度,世界的一统性是不是假的呢?如果我们要说一统,可以如何说起呢?对于后者,世界是由单子构成,单子只是其可能性的集合,世界亦只是一可能。那我们是不是不可能有一种不仅仅是可能,而是必然的知识呢?我们可以在什么意义下说有关世界的知识是真的、确定的呢?莱布尼茨将之归功于一神,世界的创造者。从一个方面说,神在创造之前,没有已成的材料,故没有既成的有限处境,则创造是一纯意志的创造,神是单凭其至善而创造这一个世界的。故此,如莱布尼茨的名言,这一个确切成就了的世界是“众多可能的世界之中最好的一个。”这乎合了莱布尼茨的信仰要求。另一方面,要确定的了解一事物,则要了解其原因。要理解这一个原因,又要追索该原因的原因。如此类推,则世界的确定性知识不可能是一世界之内的动因(efficient cause),而是一超越的形上因(metaphysical cause)。莱布尼茨称这个理论上必要设置的形上因为神。故,这一个世界之所以是如此,就是因为这是最好的,是至善的可能世界。人,要完全理解这神的至善意志,是不可能的,但可朝这一个方向迈进,因为人的心灵作一特殊的单子,是有记忆的,可以基于过去,畴划自己的未来,这是人类分享的神性,即道德的可能性。人可以透过开放可能性,了解这个神创造的世界,而了解如何成为一个道德的人。  这一种世界的道德观,可以被视为康德的先驱,分别在于莱布尼茨独断的提出了神为道德的完满,把可能性说成了是在神的目光之下的实在,而没有真正的将世界的可能性看作为可能性。而且莱布尼茨对天赋观念(innate idea)的批评,正是黑格尔对康德的批评,在这个意义上说,康德一方面是被休谟(Hume)从莱布尼茨的独断梦中唤醒,可是同时亦到由洛克(Locke)起的哲学病变--对理性界限的审查--所污染。在这一方面,莱布尼茨却比康德走前了一步。符号思维  莱布尼茨有个显著的信仰,大量的人类推理可以被归约为某类运算,而这种运算可以解决看法上的差异:  “ 精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实,这样我们能一眼就找出我们的错误,并且在人们有争议的时候,我们可以简单的说,让我们计算“calculemus”,而无须进一步的忙乱,就能看出谁是正确的。 ”  ──《发现的艺术》 1685, W 51  莱布尼茨的演算推论器,很能让人想起符号逻辑,可以被看作使这种计算成为可行的一种方式。莱布尼茨写的备忘录(帕金森于1966年翻译了它们)可以被看作是对符号逻辑的探索--所以他的演算--上路了。但是 Gerhard 和 Couturat 没有出版这些著作,直到现代形式逻辑在 1880 年代于弗雷格的《概念文字》和查尔斯皮尔士及其学生的著作中形成,所以就更在乔治布尔德摩根在1847年开创这种逻辑之后了。

  莱布尼茨是在亚里士多德和1847年乔治布尔和德摩根分别出版开创现代形式逻辑的著作之间最重要的逻辑学家。莱布尼茨阐明了我们现在叫做合取析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性质。莱布尼茨的逻辑原理和他的整个哲学可被归约为两点:  所有的我们的观念(概念)都是由非常小数目的简单观念复合而成,它们形成了人类思维的字母。  复杂的观念来自这些简单的观念,通过模拟算术运算的统一的和对称的组合。

  目前微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在高等数学和数学分析领域,莱布尼茨判别法是用来判别交错级数的收敛性的。  莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的,他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出,为后来的数学理论奠定了基础。  莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质,得出复数的对数并不存在,共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中,莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究,对消元法从理论上进行了探讨,并首先引入了行列式的概念,提出行列式的某些理论。此外,莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念,发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制,为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。

  二进法纪念章,莱布尼茨希望能用二进位制证明圆周率π的超越性  17世纪下半叶,欧洲科学技术迅猛发展,由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要,经各国科学家的努力与历史的积累,建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想,最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分,莱布尼兹在1673~1676年间也发表了微积分思想的论著。以前,微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题,是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果,但这些结果都是孤立的,不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来,明确地找到了两者内在的直接联系:微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系,才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中,总结出共同的算法程序,使微积分方法普遍化,发展成用符号表示的微积分运算法则。因此,微积分“是牛顿和莱布尼兹大体上完成的,但不是由他们发明的”(恩格斯: 《自然辩证法》 )。 然而关于微积分创立的优先权,数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上,牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹,但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文,“一种求极大极小的奇妙类型的计算”,在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道:“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中,我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法,但我在交换的信件中隐瞒了这方法,……这位最卓越的科学家在回信中写道,他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法,它与我的方法几乎没有什么不同,除了他的措词和符号而外。”(但在第三版及以后再版时,这段话被删掉了。)因此,后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。  牛顿从物理学出发,运用集合方法研究微积分,其应用上更多地结合了运动学,造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则,其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此,他发明了一套适用的符号系统,如,引入dx 表示x的微分,∫表示积分,dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年,莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文,总结了自己创立微积分学的思路,说明了自己成就的独立性。  莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界至今最大的公案。莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文,定义了微分概念,采用了微分符号dx,dy。1686年他又发表了积分论文,讨论了微分与积分,使用了积分符号 ∫。依据莱布尼茨的笔记本,1675年11月11日他便已完成一套完整的微分学。然而1695年英国学者宣称:微积分的发明权属于牛顿;1699年又说:牛顿是微积分的“第一发明人”。1712年英国皇家学会成立了一个委员会调查此案,1713年初发布公告:“确认牛顿是微积分的第一发明人。”莱布尼茨直至去世后的几年都受到了冷遇。由于对牛顿的盲目崇拜,英国学者长期固守于牛顿的流数术,只用牛顿的流数符号,不屑采用莱布尼茨更优越的符号,以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流。  不过莱布尼茨对牛顿的评价非常的高,在1701年柏林宫廷的一次宴会上,普鲁士国王询问莱布尼茨对牛顿的看法,莱布尼茨说道:  “ 在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中,牛顿的工作超过了一半 ”

  拓扑学最早称之“形势分析学”,是莱布尼茨1679年提出的,这是一门研究地形、地貌相类似的学科,当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。

  除了是一位出众的天才数学家之外,莱布尼茨亦是欧陆理性主义哲学的高峰。承断了西方哲学传统的思想,他认为世界,因其确定(换句话说,有关世界的知识是客观普遍和必然的)之故,必然是由自足的实体所构成。所谓的自足,是不依他物存在和不依他物而被认知。莱布尼茨的前辈斯宾诺莎以为实体只有一个,就是神/自然。莱布尼茨对此不敢苟同,原因之一是斯氏的泛神观和圣经的神学有明显冲突,其次,是因为斯氏的理论没有能够解决由笛卡儿以降的二元对立论,令世界出现了断层(他虽然强调世界为一,但没有说明这一个看来是二元对立的世界的一统是如何可能)。  莱布尼茨以为实体是多的,是无限多的。跟随亚里士多德的实体观,他以为实体是一命题的主语。在一个命题S是P中,S就是实体。因为实体是自足的,则它要包含所有可能的谓语,即是「...是P」。由此,我们可以推出,实体有四个特征:不可分割性、封闭性、统有性和道德性。  不可分割性是指,任何有广延的东西,即有长度的东西,都可以被分割。被分割了的东西分别包含了自己的全部可能性,并且自足,则有广延的东西的内容, 即可能性要依附于他的部份的可能性。如此类推,则只要有广延性,就不自足,而要依他物而被知(对莱布尼茨来说,真正的知识就是要穷一物的可能性),就不是 实体。故实体不可分割,是一没有广延的东西,在莱布尼茨的晚年著作中(Monadology),他称之为单子(Monad),单子的性质就是思 (thought)。这广延的世界就是由无限多的单子构成。  封闭性是说每一单子必然是自足的,不依他而存在,而又包含了自己的全部可能性。则一单子不可能和另一单子有交互作用(interaction)。若 一单子作用于另一单子,则后一单子有一可能性没有包括在该单子之内,即该单子没能自足的包含自己的全部内容,而要依附于他物。因为实体的定义,这是不可能 的。故莱布尼茨说:「单子之间没有窗户。」  统有性是指每一单子都必然以某种角度(perspective)包括了全世界。因为世界是紧密的由因果所构成,故A作用于B,其实不单单是作用于 B,而是全世界。如果说一单子的内容包括自身的全部可能,则每一单子均以该单子自身为中心指向全世界。而这个世界是一的,不等于说所有单子都是一样的,因 为同一世界可以不同的角度来认知,而不失为一一统的世界。  最后,单子的道德性则较复杂。这个特性的提出是基于两个理由,一、是世界的一统性(unity),二、是世界的确定性。对于前者,所有的单子都包含 全世界,但各以自己的角度,世界的一统性是不是假的呢?如果我们要说一统,可以如何说起呢?对于后者,世界是由单子构成,单子只是其可能性的集合,世界亦 只是一可能。那我们是不是不可能有一种不仅仅是可能,而是必然的知识呢?我们可以在甚么意义下说有关世界的知识是真的、确定的呢?莱布尼茨将之归功于一 神,世界的创造者。从一个方面说,神在创造之前,没有已成的材料,故没有既成的有限处境,则创造是一纯意志的创造,神是单凭其至善而创造这一个世界的。故 此,如莱布尼茨的名言,这一个确切成就了的世界是「众多可能的世界之 中最好的一个。」这乎合了莱布尼茨的信仰要求。另一方面,要确定的了解一事物,则要了解其原因。要理解这一个原因,又要追索该原因的原因。如此类推,则世 界的确定性知识不可能是一世界之内的动因(efficient cause),而是一超越的形上因(metaphysical cause)。  莱布尼茨称这个理论上必要设置的形上因为神。故,这一个世界之所以是如此,就是因为这是最好的,是至善的可能世界。人,要完全理解这神的至 善意志,是不可能的,但可朝这一个方向迈进,因为人的心灵作一特殊的单子,是有记忆的,可以基于过去,畴划自己的未来,这是人类分享的神性,即道德的可能 性。人可以透过开放可能性,了解这个神创造的世界,而了解如何成为一个道德的人。  这一种世界的道德观,可以被视为康德的先驱,分别在于莱布尼茨独断的提出了神为道德的完满,把可能性说成了是在神的目光之下的实在,而没有真正的将世界的可能性看作为可能性。而且莱布尼茨对天赋观念(innate idea)的批评,正是黑格尔对康德的批评,在这个意义上说,康德一方面是被休谟(Hume)从莱布尼茨的独断梦中唤醒,可是同时亦到由洛克(Locke)起的哲学病变--对理性界限的审查--所污染。在这一方面,莱布尼茨却比康德走前了一步。

  莱布尼兹的物理学成就也是非凡的。他发表了《物理学新假说》,提出了具体运动原理和抽象运动原理,认为运动着的物体,不论多么渺小,他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨,提出了能量守恒原理的雏型,并在《教师学报》上发表了“关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”,提出了运动的量的问题,证明了动量不能作为运动的度量单位,并引入动能概念,第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观,认为“没有物质也就没有空见,空间本身不是绝对的实在性”,“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样,可是这些东西虽有区别,却是不可分离的”。在光学方面,莱布尼兹也有所建树,他利用微积分中的求极值方法,推导出了折射定律,并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。

  莱布尼茨是第一位接触中华文化的欧洲人。汉学大师布维(Joachim Bouvet,汉名白晋,1662年~1732年)向莱布尼茨介绍了《周易》和八卦的系统,他们两人一直是好朋友。在莱布尼茨眼中,“阴”与“阳”基本上就是他的二进制的中国翻版。他曾断言言:“二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言”。目前在德国图林根,著名的郭塔王宫图书馆(Schlossbibliothek zu Gotha)内仍保存一份莱氏的手稿,标题写着“1与0,一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范,因为,一切无非都来自上帝。”


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