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约数

约数,又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或b能整除a。a称为b的倍数,b称为a的约数。在大学之前,"约数"一词所指的一般只限于正约数。约数和倍数都是二元关系的概念,不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时,它可以在特定情况下成为公约数。

约数,又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或b能整除a。a称为b的倍数,b称为a的约数。在大学之前,"约数"一词所指的一般只限于正约数。约数和倍数都是二元关系的概念,不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时,它可以在特定情况下成为公约数。

在自然数(0和正整数)的范围内,

任何正整数都是0的约数。

4的正约数有:1、2、4。

6的正约数有:1、2、3、6。

10的正约数有:1、2、5、10。

12的正约数有:1、2、3、4、6、12。

15的正约数有:1、3、5、15。

18的正约数有:1、2、3、6、9、18。

20的正约数有:1、2、4、5、10、20。

注意:一个数的约数必然包括1及其本身。

如果一个数c既是数a的因数,又是数b的因数,那么c叫做a与b的公因数。

两个数的公因数中最大的一个,叫做这两个数的最大公因数。

约数,也叫因数。

枚举法:将两个数的因数分别一一列出,从中找出其公因数,再从公因数中找出最大的一个,即为这两个数的最大公因数。

例:求30与24的最大公因数。

30的正因数有:1,2,3,5,6,10,15,30。

24的正因数有:1,2,3,4,6,8,12,24。

易得其公因数中最大的一个是6,所以30和24的最大公因数是6。

短除符号就像一个倒过来的除号,短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B,再画一个短除号,接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z(通常从最小的质数开始),然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a,b,对a,b重复以上步骤,以此类推,直到最后的商互质为止,再把所有的除数相乘,其积即为A,B的最大公因数。 (短除法同样适用于求最小公倍数,只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可)

例:求12和18的最大公约数。

解:用短除法,由左图,易得12和18的最大公约数为2×3=6。

例:求144的所有约数。

解:所有约数(72,2)(36,4)(18,8)(9,16)(3,48)

将需要求最大公因数的两个数A,B分别分解质因数,再从中找出A、B公有的质因数,把这些公有的质因数相乘,即得A、B的最大公约数。

例:求48和36的最大公因数。

把48和36分别分解质因数:

48=2×2×2×2×3

36=2×2×3×3

其中48和36公有的质因数有2、2、3,所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。

(欧几里得算法)对要求最大公因数的两个数a、b,设b<a,先用b除a,得a=bq+r1(0≤r1<b)。若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用r1除b,得b=r1q+r2 (0≤r2<r1).,若r2=0,则(a,b)=r1,若r2≠0,则继续用r2除r1……如此循环,直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a,b)。

这一算法的证明如下:

设两数为a、b(b<a),用gcd(a,b)表示a,b的最大公约数,r=a mod b 为a除以b以后的余数,辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc,根据前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

由上,可知c也是r的因数,故可以断定m-kn与n互素【否则,可设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)dc,b=nc=ycd,故a与b最大公因数成为cd,而非c】

所以 gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

例:求8251和6105的最大公因数。

考虑用较大数除以较小数,求得商和余数:

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4

最后除数37是148和37的最大公因数,也就是8251与6105的最大公因数。

约数也叫做因数,是因数的另一个称呼。

更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,它原本是为约分而设计的,但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言就是

第一步:任意给定两个正整数a、b;判断它们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。

第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最大公约数。

例:求98与63的最大公因数。

分析:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减:

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以,98和63的最大公约数为7。

注:以上首三个方法同样适用于求多个自然数的最大公约数

一般地,对自然数n进行分解质因数,设n可以分解为

n=p⑴^α⑴p⑵^α*⑵…p(k)^α(k)

其中p⑴、p⑵、…p(k)是不同的质数,α⑴、α⑵、…α(k)

是正整数,则形如

n=p⑴^β⑴p⑵^β*⑵…p(k)^β(k)

的数都是n的约数,其中β⑴可取a⑴+1个值:0,1,2,…,α⑴;β⑵可取α⑵+1个值:0,1,2,…,α⑵…;β(k)可取a(k)+1个值:0,1,2,…,α(k).且n的约数也都是上述形式,根据乘法原理,n的约数共有

(α⑴+1)(α⑵+1)…(α(k)+1) ⑺

个。

式⑺即为求一个数约数个数的公式 。

国内课本中,最先提到约数这个概念是在小学,而此时还没学负数。

等到学了负数,一般要直到大学数学系“初等数论”中才严格定义约数,那个时候就包括负约数了。

如果d|a并且d≥0,则我们说d是a的约数。注意,d|a当且仅当(-d)|a,因此定义约数为非负整数不会失去一般性,只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的正约数最小为1,最大为|a|。

105的负约数的和是多少?

105的所有负约数就是105的所有正约数的相反数所组成的集合。

105的正约数有1,3,5,7,15,21,35,105

105的负约数有-1,-3,-5,-7,-15,-21,-35,-105

其和为 -(1+3+5+7+15+21+35+105) = 192


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