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运算律

运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律。既是重要的数学规律,也是数学运算固有的性质。包括加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律、以及乘法对于加法的分配律等等。

运算律既是重要的数学规律,也是数学运算所固有的性质。

1.根据运算的定义可以推导出运算律。

运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律。这个过程属于由具体到抽象、由特殊到一般的归纳,体现了合情推理的基本特点。但从知识逻辑来说,运算律与相关运算的定义是相伴相生的。数学家在定义四则运算的同时即需考虑“能否由定义出发合乎逻辑地推导出相应的运算律”。

2.运算定义和运算律是探索相关计算方法的依据。

完成运算、得出结果的方法、程序或途径,通常叫做运算方法或计算方法。把运算方法所要求的操作程序和要点用相对准确、规范且比较容易理解的文本语言表述出来,或者将当前运算归结为学生早先已经掌握的相关运算,就是所谓的“运算法则”。 [1]

交换律是被普遍使用的一个数学名词,指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质,而且许多的数学证明都需要依靠交换律。即给定集合S上的二元计算,如果对S中的任意a,b满足a+b = b+a,则称满足交换律。

例如,在四则运算中,加法和乘法都满足交换律。加法交换律是指两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。即a+b=b+a。乘法交换律是指两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。即axb=bxa。另外,在集合运算中,集合的交、并、对称差等运算都满足交换律。 [2]

结合律是指给定一个集合S上的二元运算,如果对于S中的任意a,b,c。有加法结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)或乘法结合率ax(bxc) = (axb)xc,则称其运算满足结合律。

例如,在常见的四则运算中,加法和乘法都满足结合律。加法结合律是指三个数相加,先把前面两个数相加,再加第三个数,或者先把后面两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变。即表示为:(a+b)+c=a+(b+c);乘法结合律是指三个数相乘,先把前面两个数相乘,再乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变。即表示为:(axb)xc=ax(bxc)。另外,在集合运算中,集合的交、并运算都满足结合律。 [2]

给定集合S上的两个二元运算x和+,若对任意S中的a,b,c有cx(a+b) = (cxa)+(cxb) ,则称运算x对运算+满足左分配律。若对任意S中的a,b,c有(a+b)xc = (axc)+(bxc), 则称运算x对运算+满足右分配律。

例如,在常见的四则运算中,乘法对加法和减法都满足分配律(即同时满足左右分配律)。即两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加。另外,在集合运算中,交运算对并运算满足分配律;并运算对交运算满足分配律;交运算对差运算满足分配律;并运算对差运算满足分配律。

加法交换律:a+b=b+a;

乘法交换律:a×b=b×a;

加法结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c);

乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c);

乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c;

左分配律:cx(a+b) = (cxa)+(cxb);

右分配律:(a+b)xc = (axc)+(bxc)。 [3]

例1.根据加法交换律填空。

( )+165=165+35 ;48+29+52=48+( )+( )。

解:35;52;29。

例2.根据乘法分配律求解。

(40+8)×25 ;125×(8+80);93×6+93×4;325×113-325×13。

解:(40+8)×25=40×25+8×25=1200;125×(8+80)=125×8+125×80=11000;

93×6+93×4=93×(6+4)=930;325×113-325×13=325×(113-13)=32500。

在小学数学里教学运算律,不仅具有显性的知识与技能价值,而且具有隐性的过程与方法价值。从显性的方面看,运算律是数与代数部分的重要知识,应用运算律进行简便计算有助于学生不断提高运算能力;从隐性的方面看,通过运算律的教学,有助于学生丰富和加深对运算本身的理解,感受抽象、推理、模型等基本数学思想,同时也能获得一些对心智成长十分有益的感悟。

1.在探索运算律的过程中感受合情推理的价值。

对小学生而言,运算律是对一些相似运算现象进行观察、比较、分析而抽象、概括出来的规律,是经由探索活动所得到重要发现。这个过程的本质,是由特殊到一般、由具体到抽象的归纳。所以,探索和发现运算律的过程有助于学生感受合情推理的价值,培养初步的合情推理能力。

2.在表征运算律的过程中感受简单的模型思想。

在学生借助实例初步归纳出运算律的基本内容之后,接下来的重点就是引导他们用合适的方式把发现的规律表示出来。这个过程也被称为“表征运算律”。一般来说,运算律的表征方式主要有三种,一是语言表征,二是图形表征,三是符号表征。其中,图形表征和符号表征具有初步的数学建模的意味,经历这个过程有助于学生初步感受模型思想,体会数学表达方式的特点和价值,提高学习数学、应用数学的兴趣。

3.在应用运算律解释计算方法的过程中加深对运算本身的理解。

运算定义和运算律是理解相关运算方法的前提和依据。但小学生受年龄特点、知识经验和认知能力的限制,他们在探索相关计算方法时,并不能从运算定义和运算律出发合乎逻辑地进行推理,也意识不到运算律在计算方法探索过程中的作用。事实上,小学生在探索和理解计算方法时,会更多地借助实际生活中的事理以及相关的生活经验进行思考。

4.在应用运算律简便计算的过程中感受化归思想。

小学生探索和发现运算律,主要依靠合情推理,而在应用运算律进行简便计算,就是进行演绎推理。同时,简便计算的过程也体现了“等值变形”的化归思想。即对于一道较为复杂的计算题,有效的计算策略是先应用运算律或其他运算性质、运算规律把它转化为相对简单和熟悉的题目,从而使计算途径更加合理、简洁。教学中,一方面要重视引导学生分析、思考每一步运算的依据,做到有根据、有条理地思考;另一方面也要适当引导学生体会化难为易、化繁为简、化生疏为熟悉的策略价值,受到化归思想的启蒙。 [1]


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