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悖论

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论,而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆,是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称,是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化,即把形式逻辑当做思维方式。所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生,形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。所谓解悖,就是运用对称逻辑思维方式发现、纠正悖论中的逻辑错误。

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论,而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆,是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称,是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化,即把形式逻辑当做思维方式。所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生,形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。所谓解悖,就是运用对称逻辑思维方式发现、纠正悖论中的逻辑错误。

悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆,是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称,是思维结构、逻辑结构的不对称。

悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化,即把形式逻辑当作思维方式。

悖论与解悖 悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论,而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆,是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称,是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生,形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。所谓解悖,就是运用对称逻辑思维方式发现、纠正悖论中的逻辑错误。

用对称逻辑解“说谎者悖论” “说谎者悖论”即“我在说谎”这句话中所蕴含的悖论。这个悖论表面上由“我在说谎”和“我说实话”这两个对立的“命题”组成,实际上这两个“命题”并不等价前一个命题包含思维内容,后一个“命题”只是前一个命题的语言表达式,因此后一个“命题”不是严格意义上的命题。长期以来人们之所以把其看成悖论,是由于把两个“命题”看成等价,即都是思维内容和语言表达式统一的命题。只要把思维的两大层次:命题的思维内容和命题的语言表达式区别开来,“我在说谎”这个悖论即可化解。

西元前6世纪,克利特哲学家埃庇米尼得斯(Epimenides)说了一句很有名的话:“所有克利特人都说谎。”这句话有名是因为它是一个经典悖论,即“说谎者悖论”。因为如果埃庇米尼得斯所言为真,那么克利特人就全都是说谎者,身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外,于是他所说的这句话应为谎言,但这跟先前假设此言为真相矛盾;又假设此言为假,那么也就是说所有克利特人都不说谎,自己也是克利特人的埃庇米尼得斯就不是在说谎,就是说这句话是真的,但如果这句话是真的,又会产生矛盾。因此通常认为这句话是无法解解决的悖论。这是一个困扰人类几千年、因而也挑战人类智慧几千年的表面自相矛盾的无限逻辑循环。英国著名哲学家罗素曾经试图用命题分层的办法解决这个悖论。“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”罗素之所以不成功是因为他把思维的层次和命题的层次混为一谈。

解悖:说谎者悖论根源于混淆了“对与错”同“真与假”两对范畴。“对与错”同“真与假”是对应关系,而非等同关系“对与错”是内容是否符合事实,“真与假” 只是形式上表述真假。“我在说谎”之所以成为悖论,是由于混淆了这两对范畴,因而混淆了思维内容与思维形式。如果这句话确是假的,只能说明表述正确,而不能使这句话内容弄假成真;如果这句话是真的,只能说明这句话表述错误,也不等于这句话内容是假的。要把这句话表述正确与否(形式),同这句话本身内部的真假(内容)区别开来。很多悖论都是把表述的正确与否,同表述内容的真与假混为一谈。内容的真假,不因表述的对与错而改变。内容是真的,不因表述错变成假的;反之,内容是假的,不因表述正确而变成真的。把思维对象、思维内容和思维形式语言表述形式区别开来不同于罗素的“命题分层”,因为任何层次的命题都有思维对象、思维内容和思维形式的关系,任何层次的命题都是思维内容和表述形式的统一,如果不能区别思维对象、思维内容和思维形式,命题分层的结果是每一层次的命题都会产生悖论。罗素的“命题分层”方法仅仅对命题进行分层,而没有分离命题的内容和表述形式,所以无法解决“说谎者悖论”。在这里对称逻辑通过限定层次范围,使语言的内容和语言的对象对称。“说谎者悖论”这个经典悖论说明,思维内容和思维形式、思维主体与思维客体的对称是对称逻辑的基本原理。

一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子,它保证如果这个父亲能猜出它要做什么,它就会将儿子还给父亲。如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”,就会成为所谓的“悖论”:如果鳄鱼不还儿子,那么父亲就猜对了,鳄鱼就必须把孩子还给父亲,否则鳄鱼违背了诺言;如果鳄鱼将儿子还给他,那么父亲就猜错了,鳄鱼又违背了诺言。

解悖:鳄鱼“要做什么”是一种心理状态,鳄鱼“把孩子还给父亲”是一种行为,二者在时间上是前后衔接的两个阶段。同样,这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”是鳄鱼心理状态,后来“鳄鱼将儿子还给他”是鳄鱼行为。这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”这种鳄鱼的心理状态和后来“鳄鱼将儿子还给他”这种鳄鱼行为之间同时存在并不矛盾正是因为这个父亲猜对了鳄鱼的心理“不把儿子还给他”,所以鳄鱼为了履行诺言必须在行动上把儿子还给他。在这里对称逻辑通过限定时间范围,使语言的内容和语言的对象对称。

1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础。到19世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础上。1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱兴高采烈地宣称:“借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……我们可以说绝对的严格性已经达到了”。 1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论有漏洞!这就是英国数学家罗素提出的著名的“罗素悖论”。“罗素悖论”使集合论产生危机。“罗素悖论”就是“理发师悖论”:在某个城市中有一位理发师,他的广告词:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸;而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。

解悖:理发师要给“本城所有不给自己刮脸的人刮脸”这个广告语中的对象很明确:就是他可以为之服务并且可以从对方身上盈利的人,所以广告语中“本城所有不给自己刮脸的人”这个集合显然不包括他自己。这个悖论之所以会成为悖论是因为混淆了这个广告语本意所指的对象和这个广告语本意不包括的对象的区别,把这个广告语本意所指的不包括作广告本人的对象集合,抽象化为也包括作广告的人本身。而这种主客体对象的混淆、把这种不包括主体在内的对象的集合错误地认为也包括主体在内,源于建立在形式逻辑基础上的数学集合论没有主客体区分这个概念, 而这又源于传统形式逻辑没有主客体区分,所以很容易把主客体混为一谈造成对象的混淆而陷于悖论。“理发师悖论”、“罗素悖论”、“集合论悖论”是同义语,都是所谓的“数学悖论”。“数学悖论”说明:形式逻辑必须有限度有条件使用,把形式逻辑抽象化无条件使用会陷于悖论。社会领域是主客体统一的领域,经济领域是主客体统一的领域,经济现象是以主客体统一为核心的复杂性现象,把建立在形式逻辑基础上的数学抽象化无条件运用到经济与经济学领域、特别是经济学基础理论只能陷于悖论。计量经济学可以成立,但计量经济学是低层次的经济学,和经济学不能化等号,用计量经济学证明经济学可以数学化是错误的。经济学理论的层次性和运用数学的可能性与必要性是对称的,经济学理论的层次和运用数学的可能性与必要性成反比,这是一条定理。

外祖母悖论英国科学家霍金设想人有可能乘坐时速超过光速的宇宙飞船“时间机器”通过时间隧道回到过去,甚至回到外祖母怀他母亲之前;因此人有可能在外祖母怀他母亲之前杀死外祖母;人如果在外祖母怀他母亲之前杀死外祖母,外祖母就不可能生这个人的母亲,这个人也就不可能出世; 现在这个人不但出世了,而且还杀死了他的外祖母。这就产生了悖论。这个悖论的抽象公式:不可能=现实。解决“外祖母悖论”,物理界产生了平等历史(也叫平行宇宙)的说法。

解悖:这个悖论犯了“用错误前提推出正确结论”的逻辑错误。产生这个悖论的根本原因是“人有可能乘坐时间机器通过时间隧道回到过去,甚至回到外祖母怀他母亲之前”这个前提不成立。时间本身是不可逆的,人不管怎样都是不可能回到过去的,人在外祖母怀他母亲之前杀死外祖母是不可能发生的事。解开这个悖论的公式:不可能=不可能。这个悖论的逻辑错误根源于混淆了参照系与惯性系,把宇宙惯性系本身不可能发生的事情因为混淆了参照系与惯性系而强加给宇宙惯性系,得出错误的结论。即使人可以乘坐时速超过光速的“时间机器”通过“时间隧道” 进行超越光速的时间旅行,人也只能看到死去的亲人生前活动的光影,不可能与死去的亲人见面并和死去的亲人对话,就像人可以通过录像看过去发生的事情不等于回到过去一样。人不可能在外祖母怀他母亲之前杀死外祖母,就像人不可能改变过去已经发生过的事。“世界上没有后悔药”指的就是时间是不可倒流的。不能把追光和时间倒流混为一谈。霍金之所以把“追光”和“时间倒流”混为一谈,是因为他和爱因斯坦一样混淆了参照系与惯性系这两个不同概念。参照系“人可以追光”只能是相对于人而言,因而具有主观的特征;而惯性系“时间不可倒流”是客观存在的。参照系与参照系对称,惯性系与惯性系对称。同时性在不同的参照系之间只能是相对的,但是在不同的惯性系之间可以绝对存在。参照系与惯性系之间是否对称,必须放在主客体相统一的更大范围、更高层面来考察。整个宇宙是一个惯性系,不以人的意识为转移。霍金的时间机器理论把参照系与惯性系混为一谈,把自己回到过去的意志通过所谓的“时间机器”与“时间隧道”的设想强加到宇宙头上,违背了对称性的原理,把人类认识的局限性夸大为对宇宙整体和本质的认识。主客体间的不对称必然得出错误的结论。

孪生子佯谬是一个与相对论有关的悖论。爱因斯坦的成就之一,就是引进了一个定律,用C表示恒定的真空光速,把它纳入自然常数之列,作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定,引出了相对论的两个著名的“佯谬”,它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。“孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟,比静止参考系中的钟走得慢。根据这一结论,人们可以得出这样的一个结果:一个乘飞船按接近光速的速度在太空旅行的人,当他返回地球的时候,就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因为他的生物钟,比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光速的速度。在1905年,爱因斯坦的狭义相对论确立以前,牛顿定律是速度远远小于光速条件下的定律,机械自然观统驭着人们的空间想象,因此无法解释这一现象。爱因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的,它取缔了牛顿“绝对时间”的概念,使“绝对运动”概念也失去了立足之地。

解悖:这个悖论的根源在于:爱因斯坦一样混淆了参照系与惯性系这两个不同概念。参照系“以快速运动为参考系的钟”的快慢只能是相对于人而言,因而具有主观的特征;而惯性系“绝对时间”是客观存在的。一个人的生物钟取决于绝对时间而不是取决于相对时间,哥哥的生物钟不会因为以快速运动为参考系的钟比静止参考系中的钟走得慢,而比弟弟的生物钟走得慢;哥哥也不会因为乘飞船按接近光速的速度在太空旅行一段时间后变得比弟弟年轻。爱因斯坦的同时性的相对性原理属于参照系,牛顿“绝对时间”属于宇宙惯性系,只要把参照系和惯性系区别开来,爱因斯坦的同时性的相对性原理理论与牛顿“绝对时间”理论两者并不冲突,都是科学的。参照系与参照系对称,惯性系与惯性系对称。同时性在不同的参照系之间只能是相对的,但是在不同的惯性系之间可以绝对存在。参照系与惯性系之间是否对称,必须放在主客体相统一的更大范围、更高层面来考察。整个宇宙是一个惯性系,不以人的意识为转移。爱因斯坦把参照系与惯性系混为一谈,把属于参照系范畴的时钟快慢、同时性的相对性原理强加到宇宙头上,认为是宇宙惯性系本身固有的,违背了对称性的原理,把人类认识的局限性夸大为对宇宙整体和本质的认识。主客体间的不对称必然得出错误的结论,“孪生子佯谬”的产生是不奇怪的。爱因斯坦的同时性的相对性原理不等于爱因斯坦的相对论,爱因斯坦的同时性的相对性原理属于以人为观察主体的参照系,爱因斯坦的相对论是宇宙惯性系的规律反映。爱因斯坦的相对论时间和空间的相互转化是宇宙惯性系本身固有的,与参照系无关,与人对时间的感觉无关,与牛顿的“绝对时间”也没有冲突。

伸缩的尺这是爱因斯坦的同时性的相对性原理引出的另一个悖论:一把快速运动着的尺子,它和静止状态相比,在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈克尔逊实验结果提出来的,后来形成了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为,这种收缩可以用两个参考系之间存在着的相对速度来解释。

解悖:这个悖论的产生同样由于混淆了参照系与惯性系,并因此混淆了绝对运动和相对运动概念。宇宙中物体的运动既有相对运动在参照系中的运动,也有绝对运动不在参照系、只在惯性系中的运动。在参照系中一把快速运动着的尺子和静止状态相比在运动方向上长度缩短,在惯性系中一把快速运动着的尺子和静止状态相比在运动方向上长度不会缩短。这个悖论产生的原因是运动物体的时间和空间不对称,把特定时空状态(参照系)下运动的物体性质推到所有时空状态(惯性系)下运动的物体性质,犯了以偏概全的逻辑错误。

既然到底是先有鸡还是先有蛋这个悖论自有人类以来就一直困扰着人类,那就说明这个问题不是技术问题,而是哲学问题,严格来讲是思维方式问题。如果是技术问题,现在科学这么发达这个问题早就解决了。怎样从哲学或思维方式解决这个问题呢?根据五度空间理论,任何空间并列的东西,都有层次关系与时间关系,空间时间层次是相互转化的;事物的深层结构是低层结构的本质,事物的发展过程就是从本质到现象的展开过程。因此,如果我们找出空间并列的东西之间的层次关系、本质和现象的关系,也就找到了它们之间的时间先后关系。

从哲学逻辑看,能孵蛋的只有母鸡,公鸡不能孵蛋;而蛋可以产生公鸡和母鸡,这说明蛋是公鸡和母鸡的共同本质,根据本质在先原理,蛋在先。从生命科学的逻辑看,鸡和蛋的共同本质是什么?是细胞。生命系统的结构层次由简单到复杂为:细胞组织器官系统个体。细胞是生命系统的结构层次中最深层次,也是生命系统的本质;从细胞到个体的展开过程体现了生命系统从本质到现象的展开过程。鸡属于个体,鸡蛋属于从细胞到个体的演化过程,所以蛋在先。从物种产生的历史过程看,科学证明自然界是从无机物转变为有机物,简单有机物转变为复杂有机物然后进一步转变为动物的过程。从物种起源看,任何新的物种都是通过杂交或者基因突变衍生而来的,鸡这个新物种的产生也不例外。鸡产生之前的其他禽类动物出现了基因突变,进而产下蛋,经过发育成长成鸡,因此,先有蛋。从生命个体的形成产生过程看,动物细胞分为体细胞与生殖细胞,生命个体的形成产生过程是从生殖细胞到个体细胞的发展过程。鸡蛋是一个单独的细胞,叫受精卵,也叫生殖细胞,受精卵发育成胚胎进而形成雏鸡的过程就是从生殖细胞到个体细胞的发展过程。因此,先有蛋。

用时空相对论解“阿基里斯悖论” 阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。

解悖:这个悖论割裂了运动时空间的连续性与非连续性的统一,只看到运动时空间的连续性,没有看到运动时空间的非连续性。连续运动的物体乌龟在特定的时间必定要经过特定的空间,这个空间完全可以和连续运动的另一物体阿基里斯在特定的时间必定要经过的特定的空间重合,这个重合点就是阿基里斯追上乌龟的时空点。这个重合完全可以以阿基里斯超过乌龟的形式实现。这说明,阿基里斯可以追上乌龟。同时,这个悖论是以阿基里斯不可能超过乌龟、只能跟在乌龟后面为立论前提,也就是以阿基里斯永远追不上乌龟为阿基里斯永远追不上乌龟的立论前提,这是犯了把结论当预设前提的逻辑错误循环论证的逻辑错误。这个悖论的语言表达式是:因为阿基里斯只能跟在乌龟后面追(阿基里斯永远追不上乌龟),所以阿基里斯永远追不上乌龟。这个悖论的表达式也是:因为阿基里斯永远追不上乌龟,所以阿基里斯永远追不上乌龟。即:因为A,所以A。循环论证。我们要追一个人的时候,要么从后面把他拉住,要么超过他,哪里有仅仅跟在他脚跟后面。问题是这个悖论这么明显的逻辑错误,几千年没有人能看出来,用什么集合论来论证阿基里斯能追上乌龟。如果阿基里斯只能跟在后面追这个前提能成立,阿基里斯永远追不上乌龟这个结论就是正确的。

一个宝塔,如果从下面抽走它的砖,一块一块地抽,这是量变。当到达一定的度时,宝塔倒塌了,发生了质变,说明宝塔没有了。人们可以看到一准确的“度”。但是现在从上面拿走它的砖,一块一块地抽,这也是量变。直到拿完,宝塔不存在了,发生了质变,但人们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度”了。这个悖论的公式:同样都是从量变到质变,一个有度一个没度。

解悖:这是哲学中从量变到质变的一个例子。量变到质变有两种形式纯粹的量变到质变,序变(结构变化)到质变。从上到下没有结构变化,所以一直到塔没了,属于前一种量变到质变;从下到上由于重力的作用使塔的结构发生变化,所以塔塌了,属于后一种量变到质变。塔没了和塔塌了都是一种“度”,只不过不同的质变有不同的“度”的形式。塔没了这种质变的“度”是塔不成为塔的最后一块砖,具体那一块是塔不成为塔的最后一块砖要靠直觉来把握,不能靠数字计算来把握。实际上两种量变到质变的度都存在,都可以通过肉眼观察到,后一种从量变到质变中间的一个准确的“度”也同样可以观察到。该悖论的错误在于:把量变到质变的一种类型的度,当做量变到质变的唯一类型的度,把不完全归纳当完全归纳,犯了以偏概全的逻辑错误。

如果1粒谷子落地不能形成谷堆,2粒谷子落地不能形成谷堆,3粒谷子落地也不能形成谷堆,依此类推,无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。它的逻辑结构:1粒谷子不是堆,如果1粒谷子不是堆,那么,2粒谷子也不是堆;如果2粒谷子不是堆,那么,3粒谷子也不是堆;如果99999粒谷子不是堆,那么,100000粒谷子也不是堆;因此,100000粒谷子不是堆。按照这个结构,无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多本应该都没有区别,而现实中无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都有区别,悖论由此产生。

解悖:世界上任何事物的产生都要经历从无到有、从小到大的过程,这个过程通过量变到质变的转化来实现。世界上任何量变都会产生质变。所以从量变到质变是事物发展的客观规律、普遍规律,也是科学的基本原理。这个悖论的根源在于:否认量变会引起质变,否认谷粒的量变会产生“堆”的质变。谷粒的量变到产生“堆”的质变中间有个“度”,这个度只能通过直觉来把握,不可能通过对谷粒量的增加的数学计算来把握。对谷粒量的增加的数学计算只能把握量变,不能把握谷粒的量变到产生“堆”的质变中间的“度”,也无法把握谷粒的量变到产生“堆”的质变。这是因方法错误把不可能的结论当做不可能的前提,犯了把结论当前提的逻辑错误。

苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”

解悖:这个悖论由“知道”和“什么都不知道”两个命题组成,似乎自相矛盾,而且自相矛盾的两个命题都能成立。但两个命题所指的对象不同。“什么都不知道”这个命题的对象是外界事物,“知道”这个命题的对象是“什么都不知道”这个命题本身。这句话之所以成为悖论,是因为混淆了两个命题包含的不同对象,误以为两个命题的对象是同一的,两个命题是等价的,违背了形式逻辑同一律。对称逻辑要求命题与对象对称。只要命题与对象对称,这个悖论即可化解。

这句话之所以成为悖论,是因为他说的每一句话都是假话中也包括“我说的每一句话都是假话”这句话本身。悖论:如果“我说的每一句话都是假话”这句话是真的,那么“我说的每一句话都是假话”这句话本身也是假话;如果“我说的每一句话都是假话”这句话本身也是假话,那么“我说的每一句话都是假话”这句话还会是真的吗?

解悖:把这句话内容的指向对象和形式(语言表达式)的指向对象区别开来。“我说的每一句话都是假话”这句话的内容指向对象是除了这句话以外的任何一句话;“我说的每一句话都是假话”这句话的形式指向对象是“我说的每一句话都是假话”这句话本身。如果“我说的每一句话都是假话”这句话的内容指向对象除了这句话以外的任何一句话都是假话,说明这句话内容是对的,“我说的每一句话都是假话”这句话形式指向对象“我说的每一句话都是假话”这句话本身表述是真的是作了真实的表述。所以,如果“我说的每一句话都是假话”这句话是真的作了真实的表述,那么“我说的每一句话都是假话”这句话本身不是假话。所以只要把这句话内容的指向对象和形式(语言表达式)的指向对象区别开来,“我说的每一句话都是假话”这句话所包含的悖论可以化解。解悖的关键在于:把这句话内容的指向对象和形式(语言表达式)的指向对象区别开来。“我说的每一句话都是假话”这句话的内容指向对象是除了这句话以外的任何一句话,并不包括这句话本身。

世界文学名著《唐吉诃德》中有这样一个故事:唐吉诃德的仆人桑乔潘萨跑到一个小岛上,成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律:每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题:“你到这里来做什么?”如果回答对了,就允许他在岛上游玩,而如果答错了,就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人,或者是尽兴地玩,或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢?一天,有一个胆大包天的人来了,他照例被问了这个问题,而这个人的回答是:“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔潘萨是让这个人在岛上玩,还是把他绞死呢?如果让他在岛上游玩,那就与他说“要被绞死”的话不相符合,这就是说他说“要被绞死”是错话。既然他说错了,就应该被处绞刑。但如果桑乔潘萨要把他绞死呢?这时他说的“要被绞死”就与事实相符,回答就是对的,既然他答对了,就不该被绞死,而应该让他在岛上玩。最终桑乔潘萨思索再三,让卫兵把这个人放了,并且宣布这条法律作废。这个悖论的焦点:这个人回答正确与回答错误两个相反的结论都可以成立,形式逻辑不矛盾律在这里无效。

解悖:这个悖论混淆了“正确错误的答案”和“对这个答案的处理行为”两个概念,犯了混淆概念的逻辑错误。答案正确错误的标准在这个岛的国王心中,而不在这个岛的国王对这个答案的处理行为中。这个答案正确错误的标准和这个岛的国王对这个答案的处理行为之间是因果关系、先后关系、前提和结论的关系。所以这个人如果被绞刑只能证明他在被执行绞刑之前已经回答错误,他被执行绞刑是他已经回答错误的证明,而不是说明他回答正确。

庄子《齐物论》中说:“大辩不言.. 言辩而不及”,真理是无法用语言表达清楚的,言语与辩解总是与真理之间存在差异。作为墨家思想家的墨子,在著作中《墨子 经下》和《墨子 经说下》评击“言尽悖”的说法:“以言为尽悖,悖。说在其言。以悖,不可也。之人之言可,是不悖,则是有可也;之人之言不可,以当,必不审”。墨子认为,“言尽悖”这句话本身是悖论:若所有言论都无法表达真理,那“所有言论都无法表达真理”这句话也无法表达真理;如果“所有言论都无法表达真理”这句话能够表达真理;那说明有的言论可以表达真理,“所有言论都无法表达真理”这句话也不成立。“所有言论都无法表达真理”这句话不管能不能表达真理都不成立,违背形式逻辑排中律。形式逻辑排中律:一个命题不是正确就是错误,不是错误就是正确,不可能有第三方。“所有言论都无法表达真理”这句话不管正确错误都不成立,肯定存在第三方,形式逻辑排中律在这里失效。

解悖:“所有言论都无法表达真理”这句话所指的对象和“所有言论都无法表达真理”这句话本身不是一个层次,“所有言论都无法表达真理”这句话所指的对象指“所有言论都无法表达真理”这句话以外的言论,不包括“所有言论都无法表达真理”这句话本身;“所有言论都无法表达真理”这句话本身是对“所有言论都无法表达真理”这句话以外的言论的反思,层次高于“所有言论都无法表达真理”这句话以外的言论。这个悖论混淆了命题的不同层次的对象,使命题的不同层次的对象之间相悖,违背了形式逻辑同一律。形式逻辑同一律是所有逻辑规律的最基本规律,形式逻辑排中律以形式逻辑同一律为基础。在违背形式逻辑同一律基础上出现除正确错误之外的第三方是正常的,并没有违背形式逻辑排中律。只要搞清楚“所有言论都无法表达真理”这句话所指的对象和“所有言论都无法表达真理”这句话本身不是一个层次,“所有言论都无法表达真理”这句话能够表达真理和“所有言论都无法表达真理”这句话以外的所有言论都无法表达真理之间并不矛盾。

秦国与赵国订立条约:今后,秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。不久,秦国兴师攻打魏国,赵国打算援救。秦王不高兴,差人对赵王说:秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。秦国要打魏国,而赵国援救他们,这是违约。赵王把这个消息转告给平原君,平原君向公孙龙请教。公孙龙回答:“赵王也可以派人对秦王说:赵国打算援救魏国,现在秦国却不帮助赵国,这也不合乎条约。”

解悖:法律上有“违约在先”一说,即合同一方已经违约的情况下,另一方违约不算违约。本悖论的产生源于没有把两个违约的行为和各自的时间对称,犯了不当类比的错误。

纸牌悖论就是纸牌的一面写着:“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着:“纸牌反面的句子是错的。”那么到底哪句是正确的?

解悖:纸牌正反两面的表述是对立的,由于这对立的两种表述都是内容和形式统一的命题,所以只能说这个所谓的悖论实际上是自相矛盾,违背了形式逻辑的不矛盾律,制造这个悖论只不过是玩文字游戏。

解悖:“上帝能不能造出自己也举不起来的石头”,这里的“能”和上帝“万能”的“能”字面相同、内涵不同,不是同一个概念,违背了形式逻辑的同一律。“万能的上帝造出来的石头当然自己能够举起来”这里的“能”是客观能力的“能”,属于客观的范畴;“上帝能不能造出一块自己也举不起来的石头?”这里的“能不能”是“会不会”的意思,“能”属于主观愿望的范畴。所以这个所谓的“悖论”是只看命题语言形式、不看命题思维内容,混淆了字面相同、内涵不同的两个概念的结果。只要把这两个概念区别开来,这个“悖论”可解。把传统逻辑形式化,就必然导致只看命题语言形式、不看命题思维内容,产生悖论;只有对称逻辑才能区别概念的思维形式与思维内容,从而解悖。从对称逻辑的眼光来看,这个“悖论”纯粹就是语言游戏违背了形式逻辑的同一律。

“三元悖论”是由美国经济学家保罗克鲁格曼就开放经济下的政策选择问题提出,其含义是:本国货币政策的独立性,汇率的稳定性,资本的完全流动性不能同时实现,最多只能同时实现两个目标,而放弃另外一个目标

解悖:此“悖论”形成的根本原因是把“汇率稳定”和“汇率固定”画等号。只要把“汇率的稳定性”不是理解成汇率的固定性,而是理解成货币价格和价值的对称,货币价值是“货币实际发行量”和“有效经济总量”的对称,货币价格(汇率)随着货币价值的变动而变动,但变动的比值不变,那么就可以做到汇率的稳定性和汇率的浮动性的统一,汇率的稳定性通过汇率的浮动性表现出来,汇率的浮动性体现了汇率的稳定性,也就可以做到本国货币政策的独立性,汇率的稳定性,资本的完全流动性三者同时实现。

解悖的关键是定义“汇率稳定”这个概念,关键的关键是理解货币价值和价格的对称关系、汇率稳定性和汇率浮动性的对称关系、“货币实际发行量”和“有效经济总量”的对称关系。在这里对称逻辑通过使概念的对象和对象对称,实现概念的内涵和概念的对象对称。“汇率稳定”这个概念不是指的汇率形式上的固定,而是指的汇率(货币价格)随着货币价值的变动而变动,但变动的比值不变;也就是说,汇率名义上变了,但实际汇率没变。如果各国采取对本国有利的投机主义货币政策,故意使本国货币贬值或升值,那么在固定汇率制下就有可能使其他国家受损。在这种情况下固定汇率制和货币政策的独立性就是不兼容的,即使资本完全流动也不可能解决这个矛盾。但如果汇率在随行就市中使汇率和各国投机主义货币政策造成的该国货币币值的变化同步,使货币的价格和价值随机实现一致,各国货币政策的独立性和汇率的稳定性就可以统一,同时也就可以实现资本的完全流动性。以上只是从纯逻辑的角度抽象立论。在现实上,本国货币政策的独立性本来只能是相对的,国际货币体系包括对各国货币政策进行监管的机制;投机性的国际资本流动本来就应该被有效控制。“三元悖论”及其解决说明只有对称经济学才是科学的经济学。

用无限性和有限性、运动的连续性和非连续性的统一解“二分法悖论”。 当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。

解悖:这个悖论是通过割裂物质的无限性和有限性、运动的连续性和非连续性,用物质的无限性否认有限性、运动的连续性否认非连续性,把不可能的结论当做不可能的前提,属于循环论证。

飞矢不动悖论是古希腊数学家芝诺提出,箭在任何瞬间都是不动的,所以箭总是保持静止。芝诺问他的学生:“一支射出的箭是动的还是不动的?” “那还用说,当然是动的。”“这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗?”“有的,老师。”“在这一瞬间里,它占据的空间和它的体积一样吗?”“有确定的位置,又占据着和自身体积一样大小的空间。”“那么,在这一瞬间里,这支箭是动的,还是不动的?”“不动的,老师。”“这一瞬间是不动的,那么其他瞬间呢?”“也是不动的,老师。”“所以,射出去的箭是不动的?”

解悖:根据相对论,时间与空间是相对的。虽然在每一瞬间箭的空间和体积一样,但是在不同的瞬间箭的位置空间不一样。由不同的瞬间(时间)组成的时间流和不同的位置(空间)移动组成的空间流,可以证明箭是运动的。“飞矢不动悖论”说明,运动和静止是相对的,时间与空间是统一的。以微观的空间为参照系,箭是不动的;以宏观的空间为参照系,箭是动的。地球上静止的物体,以地球为参照系是静止的,以宇宙空间为参照系是运动的我们每个人都是坐地日行八百里。“飞矢不动悖论”是由命题指称对象的空间和命题指称对象的时间的不对称,使命题的内容和命题的对象不对称造成的。在这里对称逻辑通过命题指称对象的时间和空间对称,使命题的内容和命题的对象对称。

所谓“价值悖论”,就是钻石对于人类维持生存没有任何价值,然而其市场价值非常高;相反,水是人类生存的必需品,其市场价值却非常低,这种强烈的反差就构成了这个悖论。

解悖:建立完善的市场体系不是建立完全的价格体制,而是建立完全的价值体制。连接需求与供给的不是价格而是价值,不是交换价值而是使用价值。价格经济学在微观经济领域只有近似的真理性,把其当作绝对真理就是大错特错;能够成为绝对真理的,只能是价值经济学。所谓价值经济学,就是以价值机制代替价格机制作为市场的核心机制。价值经济学中,产品的本质是使用价值。使用价值就是价值。使用价值的价格由使用价值的量决定,使用价值的量由稀缺度决定,稀缺度由供求关系决定,供求关系由主客体关系决定。在知识经济时代,主客体关系由效益决定;而这里的效益不是指利润,而是指满足人的需求程度。人的需求,既有物质需求,也有精神需求。因此,使用价值是实体、属性、关系的统一。关系就是主体和客体的关系。用主客体关系定位价值的价值经济学、建立在价值经济学基础上的边际效益分析可以解决“价值悖论”。水虽然整体上是人类生存所必需的,水总体上对于人类有很高的价值,但由于水整体上不稀缺,所以某一部分的水价格不高;某一部分的水价格不高是由某一部分的水价值不高决定的,和水总体上对于人类有很高的价值并不冲突。但如果在特定环境下(比如沙漠),人快要渴死时,那么特定的水对于人的价值就很高,它的价值和这个快要渴死的人身价成正比,也即这个人的身价有多高,那么这部分水的价格就可以有多高。同样,在正常环境下,因为钻石比某部分水要稀缺得多,所以钻石的使用价值要比某部分水大的多;此时钻石的价格大于某部分水,就是此时钻石的价值大于某部分水的反映。但如果在特定环境下(比如沙漠),人快要渴死时,那么钻石的价值就远远不如水对于此人的价值,钻石的价格也远远不如水的价格。这里,整体的水和人类之间、一般环境下某部分水和某部分人之间、特殊环境下某部分水和某部分人之间、一般环境下钻石和一般的人之间、特殊环境下钻石和特殊的人之间的价值关系是不同的,由不同的价值决定不同的价格是正常的;由主客体具体关系形成的价值是具体的,水的价值是大是小、钻石的价值是大是小,由此决定的价格孰大孰小必须具体问题具体分析;只要做到了具体问题具体分析,那么所谓的“价值悖论”就会被化解。这才是真正的超边际分析建立在价值经济学基础上的“超边际效益分析”;而建立在客体和客体之间一般均衡与价格经济学基础上的所谓“超边际分析”则不可能具体分析主客体之间的价值关系,所以也就无法化解上述“价值悖论”。“财富悖论”也一样:如果这边以满足感作为衡量社会福利的水准,那边以金钱作为衡量社会福利的标准,那么就会出现“财富悖论”。“财富悖论”的根源在于“价格经济学悖论”。如果以满足感而不是以货币收入作为衡量社会福利水平的标准,那么就要用价值机制取代价格机制作为经济学的核心机制,由此价格经济学范式就要转变。如果说,西方价格经济学的范式要求边际效率分析,那么幸福经济学范式则要求边际效益分析。特别是要建立经济学帝国,要使经济学成为充分利用生命的艺术,就只能用边际效益分析代替边际效率分析。 “价值悖论”、“财富悖论”的产生与化解说明,必须用价值经济学代替价格经济学作为经济学的核心,用“边际效益分析”代替“边际效率分析”作为边际分析的总体方法,把“边际效率分析”纳入“边际效益分析”中,成为其中的一个环节。在不同的时期、不同的环境中用对称方法具体问题具体分析主客体价值关系,那么隐藏在边际效益规律背后的,是价值规律而不是价格规律。人的理性的多层次、满意的多维度,价值的主体性、整体性与相对性说明,严格意义的边际分析只能是价值分析,任何约束条件下的边际分析都只能在价值经济学范式框架中定位。价值大小可以比较难以量化,建立在价格经济学范式基础上的超边际分析无论其数学模型多精致完美,都只能和实际脱节,要么没有意义要么必然被证伪。

古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。根据悖论形成的原因,把它归纳为六种类型,所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的快速发展,又有不少新的悖论大量涌现,人们在孜孜不倦地探索,预计他们的成果将极大地改变我们的思维观念。它们分别是:

以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手,就会得到它的否定命题;如果从否定命题入手,就会得到它的肯定命题。由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论。

谎言者悖论

公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。

《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。

“我在说谎”

如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:

“这句话是错的”

这句话是错的如果是事实,那么这句话就是对的,但是它是对的,就与所说的这句话是错的事实(开始设定的)不符。这句话是错的如果是假的,那么这句话就是对的,但这句话如果是对的,那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻,也矛盾了。这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”

他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” (同上)

罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上)

《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。

接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解,如果这个悖论是克利特以外的什么人说的,悖论就会自动消除。但是在集合论里,问题并不这么简单。

理发师悖论

在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。

这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先,他应该给自己理发。 反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。

因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

集合论悖论

“R是所有不包含自身的集合的集合。”

人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应属于R。如果R包含自身的话,R又不属于R。

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。

书目悖论

一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?

这个悖论与理发师悖论基本一致。

苏格拉底悖论

有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470-前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。

苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”

这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子:

“言尽悖”

这是《庄子齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄子的这个言难道就不悖吗?我们常说:

“世界上没有绝对的真理”

我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

柏拉图-苏格拉底悖论

柏拉图(Platon,Πλτων, 约前427年-前347年),古希腊伟大的哲学家,也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一,他和老师苏格拉底,学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。

柏拉图说:“苏格拉底的下句话是错误的”。

苏格拉底说:“柏拉图说得对。”

不论你假定哪个句子是真的,另一个句子都会与之矛盾。两个句子都不是自我诠释,但作为一个整体,同样构成了说谎者悖论。

“荒谬的真实”

有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。

这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。

《墨子经说下》中有一句话:“南方有穷,则可尽;无穷,则不可尽。”如果在有限中引进无限,就可能引起悖论。

阿基里斯悖论

稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea),曾经提出过一些著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一个。

阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。

方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟。

但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'。对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间 。

二分法悖论

这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。

这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。

芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。

他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运动佯谬:

“飞矢不动”

在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如:

这是《庄子天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。

战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。

惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。

毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日,他同哲学工作者谈话时说:“列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子可分,电子也可分。”又说:“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭就没有科学了。”

有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对核物理学家钱三强,一九六四年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话。

“点一样多?”

“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”

多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。

然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”

同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学家们进行了不懈地探讨。

例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。


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