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差分

差分,又名差分函数或差分运算,差分的结果反映了离散量之间的一种变化,是研究离散数学的一种工具,常用函数差近似导数。

差分在数学、物理和信息学中应用很广泛,模拟电路中有差分放大电路 一说。差分运算,相应于微分运算。

差分(difference)又名差分函数或差分运算,差分的结果反映了离散量之间的一种变化,是研究离散数学的一种工具。它将原函数f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分运算,相应于微分运算,是微积分中重要的一个概念。总而言之,差分对应离散,微分对应连续。差分又分为前向差分、向后差分及中心差分三种。

在社会经济活动与自然科学研究中,我们经常遇到与时间t有关的变量,而人们往往又只能观察或记录到这些变量在离散的t时的值。对于这类变量,如何去研究它们的相互关系,就离不开差分与差分方程的工具。微积分中的微分与微分方程的工具,事实上来源于差分与差分方程.因此差分与差分方程更是原始的客观的生动的材料。

读者熟悉等差数列:a1 a2 a3……an……,其中an+1= an + d( n = 1,2,…n )d为常数,称为公差, 即 d = an+1 -an , 这就是一个差分, 通常用D(an) = an+1- an来表示,于是有D(an)= d , 这是一个最简单形式的差分方程。

定义. 设变量y依赖于自变量t ,当t变到t + 1时,因变量y = y(t)的改变量D y(t)= y(t+1) - y(t)称为函数y(t)在点t处步长为1的(一阶)差分,常记作D yt= yt+1- yt ,简称为函数y(t)的(一阶)差分,并称D为差分算子。

差分具有类似于微分的运算性质。

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数f(x),如果在等距节点:

则称Δf(x),函数在每个小区间上的增量y(k+1)-yk为f(x)的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时,前向差分为Delta算子,一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。

对于函数

注:差分方程:difference equations

对于函数

称为阶的差分,即前向阶差分 ,如果 数学运用根据数学归纳法,有其中,为二项式系数。特别的,有前向差分有时候也称作数列的二项式变换

首先我们来看在“无限演算”中所使用的

Df(x) = Limit[f(x+h)-f(x),h -> 0]

这是定义微分算子D的性质。“有限演算”基于由

Δf(x)=f(x+1)-f(x)

定义在差分算子Δ的性质上。

差分与微分有许多类似的性质(事实上微分可认为是差分的极限),对于幂函数的微分有

D(x^m) = m * x^(m-1) dx

我们寻找一种类似的差分性质:

设:

Mi(x,m) = x(x-1)(x-2)…(x-m+1) , 整数 m > 0

Mi(x,m) = x/((x+0)(x+1)(x+2)…(x+m)),整数 m ≤ 0

那么

ΔMi(x,m) = m * Mi(x,m-1) .

定义了差分,那么就有其逆算子,我们称之为 逆差分

g(x) = Σf(x) + C

Σ为逆差分算子,g(x) 为 f(x) 的逆差分,C是在x,x+1,x+2……上为任意常数的函数,我们可以使用逆差分来进行求和运算:

Sum[f(x),{x,m,n-1}] (Mathematica语法)

= Sum[g(x+1)-g(x),{x,m,n-1}]

= g(n) - g(m)

注:Sum即Σ逆差分算子。

这里我们可以求出一些函数的逆差分:

ΣMi(x,m) = Mi(x,m+1)/(m+1) + C,

Σ1/x = H(x-1) + C,H(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/x,

Σ2^x = 2^x + C,

Σ1 = x + C

例 求:

Sum[x^2,{x,0,n}] (Mathematica语法)

= Sum[Mi(x,2) + Mi(x,1),{x,0,n}]

= Sum[Mi(x,2),{x,0,n}] + Sum[Mi(x,1),{x,0,n}]

= (Mi(n+1,3) - Mi(0,3))/3 + (Mi(n+1,2) - Mi(0,2))/2

= n(1+n)(1+2n)/6

因为:

Δ(u(x)*v(x))

= u(x+1)*v(x+1) - u(x)*v(x)

= u(x+1)*v(x+1) - u(x+1)*v(x) + u(x+1)*v(x) - u(x)*v(x)

= u(x+1)*Δv(x) + v(x)*Δu(x)

所以:

v(x)*Δu(x) = Δ(u(x)*v(x)) - u(x+1)*Δv(x)

所以:

Σv(x)*Δu(x) = u(x)*v(x) - Σu(x+1)*Δv(x)

例 求:

Σx*H(x)

= ΣH(x)ΔMi(x,2)/2

= H(x) * Mi(x,2)/2 - ΣMi(x+1,2)/2*ΔH(x)

= H(x) * Mi(x,2)/2 - ΣMi(x+1,2)/2 * 1/(x+1)

= H(x) * Mi(x,2)/2 - Σx/2

= H(x) * Mi(x,2)/2 - Mi(x,2)/4 + C

差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解,把它变成差分方程,就可以求出近似的解来。 比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程, x取值[0,1]  (注:解为y(x)=e^(-x));  要实现微分方程的离散化,可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]  这样上述微分方程可以离散化为:y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0, k=0,1,2,...,n-1 (n 个离散方程组)  利用y(0)=1的条件,以及上面的差分方程,就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。

差分的结果反映了离散量之间的一种变化,是研究离散数学的一种工具,常用函数差近似导数。

由泰勒公式:

由泰勒公式:


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