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非阿贝尔规范场

非阿贝尔规范场又称之为Yang-Mills场,是为了描述原子核里的核子们(当时认为就是质子和中子)为什么会被紧紧拉在一起,而不会被正电之间强烈的排斥力而炸开(质子们带正电,是互相排斥的),而设想的一种作用力场。

非阿贝尔规范场又称之为Yang-Mills场,是为了描述原子核里的核子们(当时认为就是质子和中子)为什么会被紧紧拉在一起,而不会被正电之间强烈的排斥力而炸开(质子们带正电,是互相排斥的),而设想的一种作用力场。杨振宁和Mills认为这种力场可以用类似于电磁力那样的理论来描述。 [1]

电磁力是由电磁场传播的。电荷及其运动所形成的电流产生了电磁场,场传出去后可以作用在远处电荷和电流上。于是,杨振宁和Mills也设想了一种类似电磁场的别的场来传递核力,那就是非阿贝尔规范场。 [1]

这个设想看似比较容易。不过,最重要的是,杨振宁和Mills此时极大地推广了场和荷的含义。他们设想了一种远为复杂的荷(当然不能再叫电荷了)和它们所产生的场:这些荷和场都不是普通的实数能表示的,它们是一些矩阵。矩阵的乘法是不能交换的,这种乘法的不交换性叫“非阿贝尔”的。因此也叫非阿贝尔规范场。对那些学过物理的人应该说明的是:学过量子力学的人知道,量子理论里力学变量可以表示成矩阵。但这里说的场和荷表示成矩阵不是由于量子化的结果,而是在经典物理的意义上它们就是矩阵。 [1]

杨振宁和Mills所设想的那种古怪的荷叫做"同位旋"。他们把描述电磁场的麦克斯韦理论(这里需要有大学电磁学的基础)做了一个优美而且深刻的推广,得到一个新方程,后来就叫杨-Mills方程。当然比麦克斯韦方程普遍得多也复杂得多了。至于推广的方法,是依据了一个来自电磁理论的原理,叫做“定域规范不变原理”,这个要复杂多了,已远非仅用大学的普通物理基础所能理解的了。

非阿贝尔规范场规范场拉格朗日量可以(传统地)写作

Lgf=14Tr(FμνFμν){\displaystyle \ L_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })}

其中

Fμν=[Dμ,Dν]{\displaystyle \ F_{\mu \nu }=[D_{\mu },D_{\nu }]}

而迹在场的矢量空间上取。此即为杨-米尔斯作用量

注意在这个拉格朗日量中,没有一个场Φ{\displaystyle \Phi }的变换抵消了A{\displaystyle A}的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典(几何)对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化,这个过程被称为规范固定,但是即使在限制之后,规范变换还是可能的。

O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了

L=Lloc+Lgf=Lglobal+Lint+Lgf{\displaystyle \ L=L_{\mathrm {loc} }+L_{\mathrm {gf} }=L_{\mathrm {global} }+L_{\mathrm {int} }+L_{\mathrm {gf} }} [2]

杨-Mills的那篇文章是1954年发表的。那时这个理论中还有几个关键的问题不能解决(比如质量问题,量子化和重整化之类,这是些远为专业的名词,只有研究这个方向的理论物理博士们才学的)。而且在随后的六十年代,物理学界对于用场的观点描述核力是较为悲观的时期,那时别的观点在物理学家中占主流。不过后来,经过几位物理学家近二十年左右的持续探索,解决了所有原来不能解决的问题。而且,后来找到了别的不同的荷(当时还不知道呢)分别能产生强力和弱力(核力就分这两种力)。但它们用的数学形式都是类似的,都是杨-Mills理论。不同的是其中矩阵的大小不一样:有2乘2的、有3乘3的;如果所用的矩阵是1乘1的,那它就是以前的法拉第和麦克斯韦的电磁理论。到了七十年代末,就知道自然界的所有基本作用力--引力,电磁力,弱力,强力中,除引力外的其它三种力都能用杨-Mills场描述。 [1]

有的物理学家指出,物理学基本定律可以写在一件文化衫上(意思是很简洁)。从牛顿时代开始,物理的主要目标就是描述物质结构、相互作用和运动规律。随着物理学的进化,这个简单的目标又进一步被简化了。因为后来知道物质其实也是场,不过是所谓的“量子场”的一种。因此物理学最基本的定律就是描述各种场的运动和它们之间的作用。现在如果要做那样一件物理学文化衫的话,可以肯定地说,杨-Mills方程是一定应该写上的。应该包括如下这几个内容:

一个叫Dirac方程的,它描述的是自旋1/2的费米场;

杨-Mills方程,描述引力之外所有的相互作用场(它已经包含了法拉第-麦克斯韦的电磁理论);

爱因斯坦爱因斯坦方程,描述万有引力。

或许还应该加个Klein-Gordon方程,它是描述标量场的。这些可以模糊地设想出杨-Mills理论的重要性了。 [1]

有些人提出比如这类质疑:有的说杨-Mills理论后面的很多进展不是他们做的,是别的物理学家做的,怎么还说他们的贡献那么大。还有的说杨-Mills方程最初的出发点是“错的”,怎么还说那么重要。前一类疑问很容易解释。确实,杨-Mills理论在物理上取得这么大的成功,包括了前后好多位物理学家的贡献。如Higgs,Veltman,t'Hooft,Gross,Wilczek,Politzer,Weinberg,Salam等。其中好几位得到了诺贝尔奖。还有数学家,如量子化杨-Mills场的俄国数学家Faddeev和Popov,他们也没得诺贝尔奖,同样杨振宁也不是因为提出杨-Mills场得的诺贝尔奖(似乎诺贝尔奖不倾向给理论的数学基础上的贡献,而愿意给和实验有直接联系的结果,爱因斯坦也不是因为提出相对论得的奖,而是因为解释光电效应实验)。

如此多人的贡献,如果整个是由一个人作出来的,那他的成就和爱因斯坦一样大了,甚至可以说是超过爱因斯坦!只有爱因斯坦曾经以一人之力建立了相对论。其它的物理理论,如量子力学,特别是后来的量子场论,都是由很多人,有时是经过几代人很多年的持续努力才建立起来的。不是一人之力能完成的。

Anyway,在规范场这个领域,杨振宁和Mills那篇文章的贡献是开创性的。至于出发点是“错的”之类的说法(其实是应用的对象不对,当时实验上还没有足够的线索找到那种正确的荷),显然是不了解现代物理学的特点,或者是有意给外行造成误解。这类从一个“错误的”出发点先猜出数学理论的例子太多了,甚至可以说是现代物理学进步中的一大特色。如刚才提到的Dirac方程,以现在的眼光看,他当年依据的几个出发点都是没道理的。但是,那个方程是对的并且是极其重要的!

再比如,量子力学的薛定鄂方程,他自己最初的解释也是错的。类似的例子太多了。从一开始的物理观点就完全是对的例子很少很少,爱因斯坦的相对论还是那极少见的例子之一。如果他们做到了那样,那大概也可以说和爱因斯坦一样伟大了。你要知道,在物理学历史上,还很少很少或者根本就没有其他物理学家能和爱因斯坦相比呢(顶多有个牛顿)。 [1]


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