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戴煦

戴煦(1806年~1860年),初名邦棣,字鄂士,钱塘人。晚清数学家。戴煦在青年时期就写成了《重差图说》一书,文字深入浅出,内容通俗易懂。戴煦在研究国外传入的新运算法对数时,发明了“图表法”。这一方法不仅运算的数据正确,而且也要比一般的算法更为简便易行。

与项名达同时研究三角函数的幂级数展开式和椭圆求周等问题,并代项氏续成遗著。他的代表作有《对数简法》等四种九卷,合刊成《求表捷术》。得出了指数为任意实数的二项展开式、对数展开式及三角函数对数展开式,并用来计算对数表。

戴煦和项名达共同发现了指数为有理数的二项式定理。 [1]

项名达所著作的《象数一原》的主要内容是论述三角函数幂级数展开式问题,他撰写此书时已年老病重,仅写成整分起度弦矢率论、半分起度弦矢率论、零分起度弦矢率论(两卷)、诸术通诠、诸术明变,共6卷。其中卷四和卷六未能完稿,戴煦遵从他的嘱托于咸丰七年(1857)补写完成,并为椭圆求周术补作图解1卷,故现传本《象数一原》共 7卷。在此书中,项名达推广了明安图和董诚的结果。董诚同明安图一样,也用连比例的方法讨论了全弧与分弧所对的弦的关系以及全弧和分弧的中矢(即该弧所张的弓形的高),得到四个幂级数公式。项名达进一步归纳为下列两个公式:设сn和сm分别为圆内某弧с的n倍和m倍弧长,vn和vm分别为相应的中矢,r为圆半径,则有 (图一):

由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董诚的四个公式,其中包括正弦和反正弦的幂级数展开式、正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆周率π 的无穷级数表达式等。

项名达的另一项成就是求出椭圆周长公式(图二):

式中p为椭圆周长,e为椭圆离心率,αb为椭圆长半轴与短半轴。这是中国在二次曲线研究方面最早的重要成果。

他还据此推出圆周率倒数公式(图三):

项名达与戴煦还共同讨论求二项式n次根的简法,在《开诸乘方捷术》中提出了幂指数为 1/n的二项式定理

以及用逐次逼近法开n次方的递推公式(图四):

按上述公式逐次求得的αk+1,即为准确到不同程度的近似值。《勾股六术》与《三角和较术》内容浅显易懂,是项名达为初学者撰写的数学入门书。在这两卷书中,对于勾股形、平面三角形及球面三角形的各边及其和、差的互求关系,做了较系统的分类与总结。

著有《对数简法》、《四元玉鉴细草》等。

戴煦在研究无穷级数时发现了“开方求对数”的简便方法,并在此基础上补充了“定理级对数”和“自然对数级数术”两项定理,比当时世界上的先进算法要简单实用得多。

戴煦一生论著颇多,除了《重差图说》外,还著有《对数简法》、《续对数简法》、《外切密率》、《假数测圆》和《求表捷术》等著作。这一切充分显示了戴煦在数学领域中的领先地位。当时在上海的英国汉学家艾约瑟曾专程来杭州求见,回国后还将其数学著作译成英文,并在伦敦广为刊行。 [2]


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