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代数

代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程(组)的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授,介绍代数的基本思想:研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么,以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字,而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质,而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。 [1]

在古代,当算术里积累了大量的,关于各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数。

代数(algebra)是由算术(arithmetic)演变来的,这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科,就很不容易说清楚了。比如,如果你认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的代数方程的技巧。这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。

代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算,字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外),则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如: 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量,那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois,1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍,三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学,抽象代数学处理广义的数学结构,它们与算术运算有类似之处。参见,如: 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作,已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数,或叫K-代数,如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之,赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构:

记为加法的合成法则(x,y)x+y;

记为乘法的第二个合成法则(x,y)xy;

记为乘法的从K×E到E中的映射(α,x)αx,这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件:

a) 赋以第一个和第三个法则,E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x,y,z),有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α,β)及对E的任一元素偶(x,y),有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集(A,K)以如下三个法则:

无论是在代数还是在分析中,代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末,随着哈密顿四元数理论的建立,非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶,随着M.S.李的工作,非结合代数出现了. 到二十世纪初,由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制,代数得到了重大扩展.

与外代数,对称代数,张量代数,克利福德代数等一起,代数结构在多重线性代数中也建立了起来.

如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练,那么,代数学的产生可上溯到更早的年代。

西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖,而真正创立代数的则是古阿拉伯帝国时期的伟大数学家默罕默德伊本穆萨(我国称为“花剌子密”,生卒约为公元780-850年)。而在中国,用文字来表达的代数问题出现的就更早了。

“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用,最早是在1859年。那年,清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书,译本的名称就叫做《代数学》。当然,代数的内容和方法,我国古代早就产生了,比如《九章算术》中就有方程问题。

代数的起源可以追溯到古巴比伦的时代[1],当时的人们发展出了较之前更进步的算术系统,使其能以代数的方法来做计算。经由此系统地被使用,他们能够列出含有未知数的方程并求解,这些问题在今日一般是使用线性方程、二次方程和不定线性方程等方法来解答的。相对地,这一时期大多数的埃及人及西元前1世纪大多数的印度、希腊和中国等数学家则一般是以几何方法来解答此类问题的,如在兰德数学纸草书、绳法经、几何原本及九章算术等书中所描述的一般。希腊在几何上的工作,以几何原本为其经典,提供了一个将解特定问题解答的公式广义化成描述及解答代数方程之更一般的系统之架构。

代数(algebra)导源于阿拉伯语单字“al-jabr”,其出自 al-Kitāb al-mutaar fī isāb al-abr wa-l-muqābala这本书的书名上,意指移项和合并同类项之计算的摘要,其为波斯回教数学家花拉子米于820年所著。Al-Jabr此词的意思为“重聚”。传统上,希腊数学家丢番图被认为是“代数之父”,的成果到今日都还有用途,且他更给出了一个解答二次方程的一详尽说明。而支持丢番图的人则主张在Al-Jabr里出现的代数比在Arithmetical里出现的更为基本,且Arithmetical是简字的而Al-Jabr却完全是文辞的。[3]另一位波斯数学家欧玛尔海亚姆发展出代数几何出,且找出了三次方程的一般几何解法。印度数学家摩诃吠罗和婆什迦罗与中国数学家朱世杰解出了许多三次、四次、五次及更高次多项式方程的解了。

代数更进一步发展的另一个关键事件在于三次及四次方程的一般代数解,其发展于16世纪中叶。行列式的概念发展于17世纪的日本数学家关孝和手中,并于十年后由莱布尼茨继续发展着,其目的是为了以矩阵来解出线性方程组的答案来。加布里尔克拉默也在18世纪时在矩阵和行列式上做了一样的工作。抽象代数的发展始于19世纪,一开始专注在今日称为伽罗瓦理论及规矩数的问题上。

在古代,当算术里积累了大量的,关于各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数。

初等代数(elementary algebra)是研究数字和文字的代数运算理论和方法,更确切的说,是研究实数和复数,以及以它们为系数的代数式的代数运算理论和方法的数学分支学科。

用通俗的语言解释什么是初等代数,就是说:如果我们将算术定义为分别研究苹果、梨、橘子、葡萄等各有什么特点,那么初等代数就是研究水果的共性。

初等代数的基本内容如下

三种数有理数、无理数、复数;

三种式整式、分式、根式(统称代数式);

三类方程整式方程、分式方程、无理方程(统称代数方程),

以及由有限多个代数方程联立而成的代数方程组。

值得注意的是:根据方程的定义,只要是含有未知数的等式,就是方程。这里之所以要强调”代数方程“,是因为除了代数方程之外,还有超越方程(即非代数的初等方程,包括指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等)、微分方程、差分方程、积分方程等许多其他形式的方程。后面几类显然不属于代数的范畴。一些有关数学史的内容经常将代数定义为“以解方程为核心的学科”,主要是因为历史上关于代数方程的知识在微积分等近代数学分支建立以前就早有研究了。既然当时都没有微积分,数学家们又怎能想起建立微分方程的概念呢?

初等代数(elementary algebra)的内容大体上相当于现行中学设置的代数课程的内容,但又不完全相同。比如,严格的说,数的概念、排列和组合应归入算术的内容;函数是分析数学的内容;不等式的解法有点像解方程的方法,但不等式作为一种估算数值的方法,本质上是属于分析数学的范围;坐标法是研究解析几何的,等等。这些都只是历史上形成的一种编排方法。

初等代数是算术的继续和推广,初等代数研究的对象是代数式的运算和代数方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的加、减、乘、除和开方。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。

规则

五条基本运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律; [2]

两条等式基本性质:等式两边同时加(减)上一个数,等式不变;等式两边同时乘(除)以一个非零的数,等式不变;

三条指数律:同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘;积的乘方等于乘方的积。

初等代数学进一步地向两个方面发展,一方面是研究未知数更多的一次方程组;另一方面是研究未知数次数更高的(一元)高次方程。这时候,代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了,相应地也形成了”线性代数“与”(一元)多项式代数“两大板块。

1° a-b=0,当且仅当a=b;

2° a+b=0,当且仅当a=-b,或者b=-a;

3° ab=0,当且仅当a=0,或b=0;

4° (a-b) 2=0,当且仅当a=b。

研究对象

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间,是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数,而是向量了,其运算性质也有很大的不同了。

与线性代数的区别和联系

很多人把高等代数和线性代数混为一谈,不明白其中的区别。 [3]

高等代数是大学数学专业开设的专业课,线性代数是大学中除了数学专业以外的理科、工科和部分医科专业开设的课程。

初等代数的中心内容是解代数方程,因而长期以来都把代数学理解成代数方程的科学,数学家们也把主要精力集中在代数方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。 [4]

要讨论代数方程,首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式,然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同,大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身,因而在代数中,它们都可以进行四则运算,服从基本运算定律,而且还可以进行乘方(这里仅限于有理数指数幂)和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算,以区别于只包含四种运算的算术运算。

在初等代数的产生和发展的过程中,通过代数方程的研究,也促进了数的概念的进一步发展,将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围,使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容,就是数的概念的扩充。

有了有理数,初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是,有些一元多项式方程在有理数范围内仍然没有解。于是,数的概念在一次扩充到了实数,进而又进一步扩充到了复数。

那么到了复数范围内是不是仍然有代数方程没有解,还必须把复数再进行扩展呢?数学家们说:不用了。这就是代数里的一个著名的定理代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述,后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。

代数学的英文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为“ilm al-jabr wa'1 muqabalah”,原意是“还原与对消的科学”。这本书传到欧洲后,简译为algebra。清初曾传入中国两卷无作者的代数学书,被译为《阿尔热巴拉新法》,后改译为《代数学》。

在数学中,交换环上的代数或多元环是一种代数结构,上下文不致混淆时通常径称代数。

定义

R为一交换环,R上的代数(或称A-代数)是下述结构:

集合A是个 R-模。

A上有一个二元运算*,而*是双线性的,即:

r(a*b)=(ra)*b=a*(rb)对任何

最常考虑的情形是R是一个域,这时称域代数,一些作者也将代数定义成域上的代数。

A上的乘法满足交换性ab=ba,则称之为可交换代数;若A上的乘法满足结合律a(bc)=(ab)c,则称之为“结合代数”,详见结合代数词条。交换代数学中考虑的代数均属可交换的结合代数。 [6]
  


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