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代数运算

设A,B,D是集合,称A×B到D的映射为A×B到D的代数运算。如有n元函数f:S1×S2×...×Sn→S中有S=S1=S2=...=Sn则称f 为S 上的n 元代数运算,或简称n元运算。当n=2时称二元运算;n= 1时称一元运算。在代数系统中一般以讨论二元运算为主(有时也讨论一元运算)。一个运算可用一个运算符及若干个集合中元素组成。运算符中二元运算符常可用“”、“*”等表示,也可用“+”“×”等表示,但其中并不一定具有通常数字中的“加”“乘”的含义,一个运算的表示如x×y=z,a+b=c等均为二元运算的表示。 [1]

定义 (1)设A,B,D是集合,称A×B到D的映射为A×B到D的代数运算

注:(i) 代数运算是一种特殊映射;

(ii) A和B的次序一般不能交换;

(iii) 代数运算通常用符号“

(2)一个A xA到A的代数运算称为A上的(二元)代数运算。 [2]

按照这个定义,一个代数运算只是一种特殊的映射。因为在一般映射里,可能会涉及n个集合

代数运算既是一种特殊的映射,描写它的符号,也可以特殊一点。一个代数运算我们用符号

设有n元函数f:S1×S2×...×Sn→S中有S=S1=S2=...=Sn则称f为S上的n元运算,或简称n元运算。当n=2时称二元运算;n=1时称一元运算。在代数系统中一般以讨论二元运算为主(有时也讨论一元运算)。一个运算可用一个运算符及若干个集合中元素组成。运算符中二元运算符常可用“

(i) 设

(ii) 若集合A上的代数运算

(i) 设

(ii) 若集合A上的代数运算既满足结合律又满足交换律。则对A中任意n个元素进行运算时可以任意结合和交换元素的前后次序,其结果均相等。

(i)设

(ii)设

(iii)若

(i)左分配律

①设集合A上有两个代数运算

②设集合A上有两个代数运算

(ii)右分配律

①设集合A上有两个代数运算

②设集合A上有两个代数运算

【1】设Z是整数集.下列法则是Z上的代数运算的是哪些?

(i)普通加法

(ii)普通乘法

(iii)普通减法

(iv)普通除法

(v)

解:(i)、(ii)、(iii)是Z上的代数运算。

(iv)不是Z上的代数运算,因为

(v)不是Z上的代数运算,因为

【2】设

解:代数运算

取a=2,b=3,c=3,则


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