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丢番图

丢番图(Diophantus)是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家(约公元246330年,据推断和计算而知)丢番图是代数学的创始人之一,对算术理论有深入研究,他完全脱离了几何形式,在希腊数学中独树一帜。

对于丢番图的生平事迹,人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》The Greek anthology【这是公元500年前后的遗物,大部份为语法学家梅特罗多勒斯Metrodorus所辑,其中有46首和代数问题有关的短诗epigram】。亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用,对后来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的,它讨论了一次、二次以及个别的三次方程,还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程,如果只考虑其整数解,这类方程就叫做丢番图方程,它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数,而只要求是正有理数。 从另一个角度看,《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数,并对未知数加以运算。就引入未知数,创设未知数的符号,以及建立方程的思想虽然未有现代方程的形式这几方面来看,丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。 希腊数学自毕达哥拉斯学派后,兴趣中心在几何,他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性,代数也披上了几何的外衣。一切代数问题,甚至简单的一次方程的求解,也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图,才把代数解放出来,摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题,而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性,在希腊数学中独树一帜。他被后人称为『代数学之父』(还有韦达)不无道理。

丢番图的出生日期不可靠,但他的墓碑上有很经典的一道数学题目:

"坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一,

又过了十二分之一,两颊长胡,

再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子,

可怜迟来的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补,又过了四年,他也走完了人生的旅途。

终于告别数学,离开了人世。

与其有关的问题

1.丢番图的寿命:

解:设丢番图活了x岁。

x-[(1÷6)x+(1÷12)x+(1÷7)x+5+(1÷2)x+4] =0

x-[1/6x+1/12x+1/7x+5+0.5x+4]=0

x-[25/28x+5+4]=0

x-25/28x-9=0

x-25/28x=9

3/28x=9

x=84

答:丢番图活了84岁。

2.丢番图开始当爸爸的年龄:

84×(1÷6+1÷12+1÷7)+5=38(岁)

答:丢番图开始当爸爸的年龄为38岁。

3.儿子死时丢番图的年龄:

84-4=80(岁)

答:儿子死时丢番图的年龄为80岁。

《算术》共有13卷,但15世纪发现的希腊文本仅6卷。1973年伊朗境内的马什哈德又发现了4卷阿拉伯文,这样,现存的算术只有10卷,共290个问题。

《算术》具有东方的色彩,用纯分析的角度处理数论问题。这是希腊算术与代数的最高途径。它传到欧洲是比较晚的。16世纪,胥兰德翻译出版了拉丁文《算术》。其后,巴歇出版了经他校订的希腊文拉丁文对照本,这使得费马走向近代数论之路,他在这个本子上写了许多批注,包括著名的费马大定理。费马的儿子将全部批注插入正文,与1670年再版。

公元3世纪前后,亚历山大学派的学者丢番图发现1,33,68,105中任何两数之积再加上256,其和皆为某个有理数的平方。在丢番图的上述发现约1300年后,法国业余数学家费马发现数组:1,3,8,120中任意两数之积再加上1后,其和均为完全平方数。此后,其神秘的面纱才逐步揭开。但问题也许并没有完,人们也许还自然会想到:1,有上述性质的数组中,数的个数是否能超越四个。2,有无这样的数组,在两两相乘后加其它数后,还能为完全平方数。

对于任给的n个正整数 a_1,a_2,…,a_n,总存在一个实数 x,使得‖a_ix‖≥1/(n+1),i=1,2,…,n,成立,我们给出如下更一般的猜想:对于任给的 n 个正数 a_1,a_2,…,a_n,总存在n个整数 k_1,k_2,…,k_n,使得a_ik_j-a_jk_i≤n/(n+1)a_j-1/(n+1)a_i,对任给的i,j∈{1,2,…,n}成立、并且对更一般的猜想作了一些研究,给出了n=2,3 时的证明,其方法较以前完全不同.


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