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独立性(统计学)

设A,B为随机事件,若同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积,则A,B相互独立

一般地,设A1,A2,...,An是n(n≥2) 个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,...,任意n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称A1,A2,...,An相互独立

(1) 概率为零的事件与任何事件相互独立;

(2) 当

定理1

定理2 若事件A与B相互独立,则

证明: 这里只证明

所以

一般地,设

注:相互独立一定两两独立、两两独立不一定相互独立。

例题:如果将一枚硬币抛掷两次,观察正面H和反面T的出现情况,则此时样本空间为

故有

若事件

由独立性定义可直接推出性质1。 ’

若n个事件

从直观上看是显然的,对

假设随机变量X、Y的相关系数存在。如果X和Y相互独立,那么X、Y不相关。反之,若X和Y不相关,X和Y却不一定相互独立。不相关只是就线性关系来说的,而相互独立是就一般关系而言的。

例1 有两门高射炮独立地射击一架敌机,设甲炮击中敌机的概率为0.8,乙炮击中敌机的概率为0.7,试求敌机被击中的概率。

解: 设A={甲炮击中敌机},B={乙炮击中敌机},则A U B={敌机被击中},由题意知,P(A)=0.8,P(B)=0.7,由于A,B相互独立。故

例2 有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,并假设每批种子发芽与否是相互独立的,从两批种子中各随机地抽取一粒,求:

(1)两粒都能发芽的概率;

(2)至少有一粒种子能发芽的概率;

(3)恰好有一粒种子能发芽的概率。

解: 设A={取自甲批种子中的某粒种子能发芽},B={取自乙批种子中的某粒种子能发芽},则所求的概率分别为:

由于

例3 甲、乙两人进行网球比赛。每局甲胜的概率为p,且

解: 采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”,而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为

采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局(可能赛3局.也可能赛4局或5局),且最后一局必须是甲胜,而前面甲需胜二局。例如.共赛4局,则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”、“甲甲乙甲”、且这三种结局互不相容,由独立性得甲最终获胜的概率为:

上面这个例子所涉及的随机试验只有两种可能的结果:甲胜或甲输,且试验在相同条件下可独立重复地进行,在每次试验中甲胜的概率都是相同的,具有这种特征的概型就是伯努利概型。


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