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环面

环面(torus)是一个面包圈形状的旋转曲面,由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。在拓扑学上,环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面。

定义一:与

定义二:若一个线性代数群G同构于某个D(n,k),则称G是一个环面。连通的可对角化代数群一定是一个环面。 [1]

在几何上,一个环面是一个面包圈形状的旋转曲面,由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球可以视为环面的特殊情况,也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交,圆面中间有一个洞,就像一个圈形面包圈,一个呼啦圈,或者一个充了气的轮胎面。另一个情况,也就是轴是圆的一根弦的时候,就产生一个挤扁了的球面,就像一个圆的座垫那样。

环面可以参数式地定义为:

直角坐标系中的关于z-轴方位角对称的环面方程是:

该圆环面的表面积和内部体积如下:

根据更一般的定义,环面的生成元不必是圆,而可以是椭圆或任何圆锥曲线。

拓扑学上,一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面。

代数群的一个重要子群。指与n阶可逆对角矩阵全体所成的群D(n,K)同构的代数群。环面的有理表示都是完全可约的,不可约表示都是一维的。所以环面的表示理论被特征标群完全刻画。一个代数群中的极大环面子群(简称极大环面)在这个代数群的结构与表示理论中起着至关重要的作用。不同的极大环面在代数群中是互相共轭的。

环面透镜是相当于在环面体边缘切削的一块帽状透镜。透镜表面的形状像甜甜圈边缘削掉的一块。最高的和最低的两个曲率都是圆弧曲率。因此,与一个非常流行的看法不同,环面透镜并不是一个椭球面。主要用于隐形眼镜,角膜塑形镜和人工晶体,从而矫正高度角膜散光。


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