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基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律(Kirchhoff laws)是电路中电压所遵循的基本规律,是分析和计算较为复杂电路的基础,1845年由德国物理学家G.R.基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff,1824~1887)提出。

内容是,在任何一个闭合回路中,各元件上的电压降的代数和等于电动势的代数和,即从一点出发绕回路一周回到该点时,各段电压的代数和恒等于零,即∑U=0

基尔霍夫(电路)定律是求解复杂电路的电学基本定律。在19世纪40年代,由于电气技术发展的十分迅速,电路变得愈来愈复杂。某些电路呈现出网络形状,并且网络中还存在一些由3条或3条以上支路形成的交点 (节点)。这种复杂电路不是串、并联电路的公式所能解决的,刚从德国哥尼斯堡大学毕业,年仅21岁的基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff,1824~1887),1845年,在他的第1篇论文中提出了适用于这种网络状电路计算的两个定律,即著名的基尔霍夫定律。该定律能够迅速地求解任何复杂电路,从而成功地解决了这个阻碍电气技术发展的难题。 [1]

基尔霍夫定律包括基尔霍夫第一定律和基尔霍夫第二定律,其中基尔霍夫第一定律称为基尔霍夫电流定律,简称KCL;基尔霍夫第二定律即为基尔霍夫电压定律,简称KVL。

基尔霍夫电压定律表明:

沿着闭合回路所有元件两端的电势差(电压)的代数和等于零。

或者描述为:

沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。

以方程表达,对于电路的任意闭合回路有:

其中,m 是这闭合回路的元件数目,vk 是元件两端的电压,可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路,也可以把它推广应用于回路的部分电路。 [2]

在静电学里,电势定义为电场的负线积分:

其中,Φ(r) 是电势,E 是电场,L 是从参考位置到位置 r 的路径,dl 是这路径的微小线元素。那么,基尔霍夫电压定律可以等价表达为:

其中,C 是积分的闭合回路。

这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 C 的磁通量为常数,则这方程成立。

这方程指明,电场沿着闭合回路 C 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路,就可以分别计算每一段支路的电压。

应用该方程时,应先在回路中选定一个绕行方向作为参考,则电动势与电流的正负号就可规定如下: 电动势的方向 (由负极指向正极)与绕行方向一致时取正号,反之取负号; 同样,电流的方向与绕行方向一致时取正号,反之取负号。例如,用此规定可将回路(如图2)的基尔霍夫电压方程写成:

-E1+E2=-I1R1+I2R2+I3R3-I4R4

每个闭合回路均可列出一个方程。如果某回路至少有一个支路未被其他方程用过,则称此回路为独立回路。对于存在M个独立回路的电路,可以列出M个独立的回路电压方程,它们组成的方程组称为基尔霍夫第二方程组。 [1]

基尔霍夫定律建立在电荷守恒定律、欧姆定律及电压环路定理的基础之上,在稳恒电流条件下严格成立。当基尔霍夫第一、第二方程组联合使用时,可正确迅速地计算出电路中各支路的电流值。由于似稳电流(低频交流电) 具有的电磁波长远大于电路的尺度,所以它在电路中每一瞬间的电流与电压均能在足够好的程度上满足基尔霍夫定律。因此,基尔霍夫定律的应用范围亦可扩展到交流电路之中。 [1]

它除了可以用于直流电路的分析,和用于似稳电路的分析,还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。运用基尔霍夫定律进行电路分析时,仅与电路的连接方式有关,而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。

但用于交流电路的分析是,即对通过含时电流的电路进行分析时,由于通过闭合回路的磁通量是时间的函数,根据法拉第电磁感应定律,会有电动势E出现于闭合回路 C 。所以,电场沿着闭合回路 C 的线积分不等于零。此时回路方程应写作:

这是因为电流会将能量传递给磁场;反之亦然,磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路,必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用,电路的每一个电感器都会产生对应的电动势Ek。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律,才能求得正确答案。


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