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盈数

盈数(又称丰数,过剩数abundant number)是一种特殊的自然数,除去它本身以外的一切正约数的和大于它本身。最早命名盈数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

最小的一些过剩数是:12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102, …

以上列出的盈数都是偶数。最小的盈奇数是945。

与盈数数相关的概念是完全数(σ(n) = 2n)和亏数(σ(n) < 2n)。最早将自然数分为盈数、完美数和亏数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

1998年Marc Deléglise 证明了盈数在自然数中的自然密度介于0.2474 与0.2480之间。

奇盈数和偶盈数都有无穷多个,因为每个完全数和盈数的倍数(不包括它们自身)都是盈数。甚至,每个大于20161的数都可以写成两个盈数之和。许多盈数一部分真约数的和等于盈数自身,这样的盈数也是半完全数,一个不是半完美数的盈数叫做奇异数;盈度为1的盈数叫做准完全数。 [1]

假定有一正整数n,其所有正整数因子的和为m(例如,若n为12,则其和为1+2+3+4+6=16),则正整数n必有以下三种情形:

m <n 亏数(deficient number) 1,2,3,4,5,7,8,9 ...

m =n 完美数(完全数,perfect number) 6,28,496 ...

m >n 盈数(abundant number) 12,18,20,24,30 ...

最早这么命名亏数和盈数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

最小的一些过剩数是: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …(OEIS中的数列A005101

以上列出的过剩数都是偶数。最小的奇过剩数是945。

奇过剩数和偶过剩数都有无穷多个,因为每个完美数和过剩数的倍数(不包括它们自身)都是过剩数。甚至,每个大于20161的数都可以写成两个过剩数之和。许多过剩数一部分真因子的和等于过剩数自身,这样的过剩数也是半完美数,一个不是半完美数的过剩数叫做奇异数;盈度为1的过剩数叫做准完美数。每一完美数的完全倍数以及每一盈数的倍数都是盈数(因为,当n>1时,σ(n)/n >1+1/n;且σ(n) 为积性函数multiplicative function,即n的所有正因子之和)。1998年Marc Deléglise 证明了过剩数在自然数中的自然密度介于0.2474 与0.2480之间。

每一大于20161的整数可写成两个过剩数之和。

半完全数全部都是过剩数(盈数)。

亦称非负整数。数系中最基本的一种数.即0,1,2,3,…表示的数,它是从数数过程中产生的。作为数数的结果,自然数反映了被数事物的个数,这是自然数作为基数的特点;作为数数的过程,自然数又反映了被数事物的先后顺序,以及自然数的无限性,这是自然数作为序数的特点。如果一个事物也没有,就形成了“0”的概念,0比1还小,所以可以排在自然数列的最前面。数1是自然数的单位,从0开始,以后逐个加1,这样无限的进行下去就可以得到全体自然数。所以,自然数集合是无限的,对于任一个确定的自然数,总还存在比它更大的自然数。从自然数的产生进程可以知道:每个自然数都是表示一类对等集合的共同特征的符号。或者说,每一个自然数都是一类对等集合的标记。例如自然数0是无事物可数这样一类对等集合(空集)的标记,自然数1是以月亮为代表的一类对等集合的标记;自然数2是以一个人的眼睛为代表的一类对等集合的标记……由于自然数不是无限集合的标记,因此,可以认定:自然数是一类对等的有限集合的标记,或者说,自然数表示有限集合中元素的个数。根据两集合之间的对等与包含关系,可以给出两个自然数大小关系的定义:设自然数a与b分别代表有限集合A与B的元素的个数,那么:

1.若A对等于B,则称a等于b,记为a=b。

2.若A对等于B′,且B′B,则称a小于b,记为a<b。

3.若AA′,且A′对等于B,则称a大于b,记为a>b。

由此定义可知:对于任意两个自然数a与b,三种关系:a=b,a>b,a<b必有一种且仅有一种成立。这个结论称为自然数的三歧性,或称为自然数的全序性.随着社会生产力的发展,对自然数的研究也提出了更高的要求,根据自然数的基数和序数的特点,产生了自然数的两种严格理论:自然数的基数理论和序数理论。它们是进一步定义实数的基础。这些理论是在19世纪中、末叶分别由佩亚诺(Peano,G.)和康托尔(Cantor,G.(F.P.))完成的.在数学理论的发展中自然数集的定义并不包含0,1993年开始新的国家标准定义自然数集N含0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便与之早日相衔接;另一方面,0还是十进位数数字{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算a-a仍属于N,其中a∈N。 [1]


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