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合数(数字分类基础概念)

合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。

合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。

所有大于2的偶数都是合数。

所有大于5的奇数中,个位为5的都是合数。

除0以外,所有个位为0的自然数都是合数。

所有个位为4,6,8的自然数都是合数。

最小的(偶)合数为4,最小的奇合数为9。

每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积,即分解质因数。(算术基本定理)

对任一大于5的合数(威尔逊定理):

合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数,有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中,亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者,

注意,对于质数,此函数会传回 -1,且

另一种分类合数的方法为计算其因数的个数。所有的合数都至少有三个因数。一质数的平方数,其因数有

合数可分为奇合数和偶合数,也能基本合数(能被2或3整除的),分阴性合数(6N-1)和阳性合数(6N+1),还能分双因子合数和多因子合数。

只有1和它本身两个因数的自然数,叫质数(或称素数)。(如:由2÷1=2,2÷2=1,可知2的因数只有1和它本身2这两个因数,所以2就是质数。与之相对立的是合数:“除了1和它本身两个因数外,还有其它因数的数,叫合数。”如:4÷1=4,4÷2=2,4÷4=1,很显然,4的因数除了1和它本身4这两个因数以外,还有因数2,所以4是合数。)

100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,一共有25个。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,N+1是素数或者不是素数。

如果N+1为素数,则N+1要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中。

如果N+1为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以N+1不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的,恩斯特库默的证明更为简洁,Hillel Furstenberg则用拓扑学加以证明。

任何一个大于1的自然数N,都可以唯一分解成有限个质数的乘积,这里P1<P2<...<Pn是质数,其诸方幂ai是正整数。

这样的分解称为N的标准分解式。

算术基本定理的内容由两部分构成:分解的存在性、分解的唯一性(即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素数乘积的方式是唯一的)。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环,欧几里得整环等等概念,更一般的还有戴德金理想分解定理。

合数可分成基本合数(能被2和3 整除的),阴性合数(加1能被6整除的)和阳性合数(减1能被6整除的)。

阴性数在以下式中可以确定是阴性上合数和阴性下合数还是阴性素数。

A阴一上

则 6(3N-W)+1 是小因子数;6(3N+W)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N)^2-N-(B-1)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N-W)-1 是小因子数;6(3N+W)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

A阴二上

A阴二下

N自然数,b阴性数(加1能被6整除的),W为另一自然数。

两式都没有整数解的,这个阴性数是素数.

36-25形的阴性数在以下式中可以确定是阴性上合数和阴性下合数还是阴性素数。

A阴三上

A 阴三下

N自然数,b阴性数(加1能被6整除的),W为另一自然数。

两式都没有整数解的,这个阴性数是素数.36-19形的阴性数在以下式中可以确定是阴性上合数和阴性下合数还是阴性素数。

A阴四上

A阴四下

N自然数,b阴性数(加1能被6整除的),W为另一自然数。

两式都没有整数解的,这个阴性数是素数。36-13形的阴性数在以下式中可以确定是阴性上合数和阴性下合数还是阴性素数。

A阴五上

A阴五下

N自然数,b阴性数(加1能被6整除的),W为另一自然数。

两式都没有整数解的,这个阴性数是素数.36-7形的阴性数在以下式中可以确定是阴性上合数和阴性下合数还是阴性素数。

A阴六上

A阴六下

N自然数,b阴性数(加1能被6整除的),W为另一自然数。

两式都没有整数解的,这个阴性数是素数.

阳性数可在以下各式中确定是阳性上合数和阳性下合数还是阳性素数。

A阳一上

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,并能很快找到数因子.

A阳一下

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,并能很快找到数因子;

两式都没有整数解的,这个阳性数是质数。

A阳二上

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,并能很快找到数因子;

A阳二下

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,并能很快找到数因子;

两式都没有整数解的,这个阳性数是质数。

A阳三上

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,并能很快找到数因子;

A阳三下

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,并能很快找到数因子;

两式都没有整数解的,这个阳性数是质数。

A阳四上

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,并能很快找到数因子;

A阳四下

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,并能很快找到数因子;

两式都没有整数解的,这个阳性数是质数。

A阳五上

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,并能很快找到数因子;

A阳五下

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,并能很快找到数因子;

两式都没有整数解的,这个阳性数是质数.

A阳六上

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,并能很快找到数因子;

A阳六下

一个阳性数代入此式B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,并能很快找到数因子;

两式都没有整数解的,这个阳性数是质数。

上面有多处笔误,公式又不能更改,以下为准。

命题 1 对于B=36N+1 形数而言。

若不定方程(3N)^2+N-(B-1)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N-W)+1 是小因子数;6(3N+W)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N)^2-N-(B-1)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N-W)-1 是小因子数;6(3N+W)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 2对于B=36N+7 形数而言。

若不定方 (3N)^2+4N-(B-7)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(3N-W)+1 是小因子数,6(3N+W+1)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2+2N+2-(B+29)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(3N+2-W)-1 是小因子数,6(3N+W+3)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 3对于B=36N+13 形数而言。

若不定方程 (3N+1)^2+N-(B-13)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N+1-W)+1 是小因子数,6(3N+1+W)+1是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2-N-(B+23)/36=W2 有整数解,

则 6(3N+2-W)-1 是小因子数,6(3N+2+W)-1是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 4 对于B=36N+19 形数而言。

若不定方程(3N+1)^2+4N+1-(B-19)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(3N+1-W)+1 是小因子数;6(3N+2+W)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2+2N+1-(B+17)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(3N+1-W)-1 是小因子数;6(3N+2+W)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 5 对于B=36N+25 形数而言。

若不定方 (3N+2)^2+N-(B-25)/36=W^2有整数解,

则 6(3N+2-W)+1 是小因子数,6(3N+2+W)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2-N-(B+11)/36=W^2有整数解,

则 6(3N+1-W)-1 是小因子数,6(3N+1+W)-1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 6 对于B=36N+31 形数而言。

若不定方程 (3N+2)^2+4N+2-(B-31)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(3N+2-W)+1 是小因子数,6(3N+3+W)+1是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2-4N-1-(B+5)/36=W^2+W有整数解,

则 6(3N-W)-1 是小因子数,6(3N+1+W)-1是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 7对于B=36N-1 形数而言。

若不定方程(3N)^2-N+(B+1)/36=W^2 有整数解,

则 6(3N-W)+1 是小因子数;6(3N+W)-1 是大因子数。

若不定方程 (3N)^2+N+(B+1)/36=W^2 有整数解,

则 6(W-3N)-1 是小因子数;6(W+3N)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 8对于B=36N+5 形数而言。

若不定方 (3N)^2+2N+(B-5)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(W-3N)+1 是小因子数,6(W+3N+1)-1 是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2+4N+2+(B+31)/36=W^2+W 有整数解,

则 6(W-3N-2)-1 是小因子数,6(W+3N+3)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 9对于B=36N+11 形数而言。

若不定方程 (3N+1)^2-N+(B-11)/36=W^2 有整数解,

则 6(W-3N-1)+1 是小因子数,6(W+3N+1)-1是大因子数。

若不定方程 (3N+2)^2+N+(B+25)/36=W2 有整数解,

则 6(W-3N-2)-1 是小因子数,6(W+3N+2)+1是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 10 对于B=36N+17 形数而言。

若不定方程(3N+1)^2+2N+1+(B-17)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(W-3N-1)+1 是小因子数;6(W+3N+2)-1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2+4N+1+(B+19)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(W-3N-1)-1 是小因子数;6(W+3N+2)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 11 对于B=36N+23 形数而言。

若不定方 (3N+2)^2-N+(B-23)/36=W^2有整数解,

则 6(W-3N-2)+1 是小因子数,6(W+3N+2)+1 是大因子数。

若不定方程 (3N+1)^2+N+(B+13)/36=W^2有整数解,

则 6(W-3N-1)-1 是小因子数,6(W+3N+1)+1 是大因子数。

两式都无解,是素数。

命题 12 对于B=36N+29 形数而言。

若不定方程 (3N+2)^2+2N+2+(B-29)/36=W^2 +W 有整数解,

则 6(W-3N-2)+1 是小因子数,6(W+3N+3)-1是大因子数。

若不定方程 (3N)^2-4N+(B+7)/36=W^2+W有整数解,

则 6(W-3N)-1 是小因子数,6(W+3N+1)+1是大因子数。

两式都无解,是素数。


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