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加法结合律

加法结合律是指三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。结合律是二元运算可以有的一个性质,意指在一个包含有二个以上的可结合运算子的表示式,只要算子的位置没有改变,其运算的顺序就不会对运算出来的值有影响。

加法结合律即三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加。和不变,这叫做加法结合律。

字母表示:a+b+c=a+(b+c)

数字表示:18+5+15=18+(5+15)=38 [1]

下面从皮亚诺公理体系出发,使用数学归纳法,给出加法结合律的一个严格证明。

其中,S(k)表示k的后继序数。简单来说S(k)=k+1。

要证明(m+n)+k=m+(n+k), 对k进行归纳.

1. k=0, 由加法定义得(m+n)+0=m+n和m+(n+0)=m+n, 因此结合律对k=0成立.

2. 假设结论对k成立, 即(m+n)+k=m+(n+k). 下证结论对S(k)成立,

由加法定义可得: (m+n)+S(k)=S((m+n)+k);

以及m+(n+S(k))=m+S(n+k)=S(m+(n+k))

又由归纳假设(m+n)+k=m+(n+k)

因此S((m+n)+k)=S(m+(n+k))

故(m+n)+S(k)=m+(n+S(k))

故结论对S(k)亦成立, 由归纳公理, 结论得证.


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