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解方程

使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。必须含有未知数等式的等式才叫方程。等式不一定是方程,方程一定是等式。

1.含有未知数的等式叫方程,也可以说是含有未知数的等式是方程。

2.使等式成立的未知数的值,称为方程的解,或方程的根。

3.解方程就是求出方程中所有未知数的值的过程。

4.方程一定是等式,等式不一定是方程。不含未知数的等式不是方程。

5.验证:一般解方程之后,需要进行验证。验证就是将解得的未知数的值代入原方程,看看方程两边是否相等。如果相等,那么所求得的值就是方程的解。

6.注意事项:写“解”字,等号对齐,检验。

7.方程依靠等式各部分的关系,和加减乘除各部分的关系(加数+加数=和,和-其中一个加数=另一个加数,差+减数=被减数,被减数-减数=差,被减数-差=减数,因数×因数=积,积÷一个因数=另一个因数,被除数÷除数=商,被除数÷商=除数,商×除数=被除数) [1]

⒈估算法:刚学解方程时的入门方法。直接估计方程的解,然后代入原方程验证。

⒉应用等式的性质进行解方程。

⒊合并同类项:使方程变形为单项式

⒋移项:将含未知数的项移到左边,常数项移到右边

例如:3+x=18

解: x =18-3

x =15

⒌去括号:运用去括号法则,将方程中的括号去掉。

4x+2(79-x)=192 解: 4x+158-2x=192

4x-2x+158=192

2x+158=192

2x=192-158

x=17

6.公式法:有一些方程,已经研究出解的一般形式,成为固定的公式,可以直接利用公式。可解的多元高次的方程一般都有公式可循。

7.函数图像法:利用方程的解为两个以上关联函数图像的交点的几何意义求解。

方程是正向思维。

⑴有分母先去分母

⑵有括号就去括号

⑶需要移项就进行移项

⑷合并同类项

⑸系数化为1求得未知数的值

⑹ 开头要写“解”

例如:

3+x=18

解:

x =18-3

x =15

4x+2(79-x)=192

解:

4x+158-2x=192

4x-2x+158=192

2x+158=192

2x=192-158

2x=34

x=17

πr=6.28(只取π小数点后两位)

解这道题首先要知道π等于几,π=3.141592……,只取3.14,

解: 3.14r=6.28

r=6.28/3.14=2

不过,x不一定放在方程左边,或一个方程式子里有两个x,这样就要用数学中的简便计算方法去解决它了。有些式子右边有x,为了简便算,可以调换位置。

一元二次方程

就是关于平方的方程

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、分解因式法。

⒈直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m .

例1.解方程⑴(x-2)^2 =9⑵9x^2-24x+16=11

分析:⑴此方程显然用直接开平方法好做,⑵方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

⑴解:(x-2)^2=9  ∴x-2=±√9  ∴x-2=±3  ∴x1=3+2 x2=-3+2  ∴x1=5 x2= -1

⑵解:9x^2;-24x+16=11  ∴(3x-4)^2=11  ∴3x-4=±√11  ∴x= 4±√11/3  ∴原方程的解为x1=4√11/3,x2= 4√11/3

2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边:ax^2+bx=-c

将二次项系数化为1:x^2+(b/a)x = - c/a

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+b/ax+(b/2a)^2= - c/a+(b/2a)^2

方程左边成为一个完全平方式:(x+b/2a)^2 = -c/ab/2a)^2;

当b^2-4ac≥0时,x+b/2a =±√c/ab/2a^2;

∴x=b±[√b^2;4ac]/2a(这就是求根公式)

例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0

解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2

将二次项系数化为1:x^2-4/3x=2/3

方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-4/3x+(4/6)^2=? +(4/6)^2

配方:(x-4/6)^2= +(4/6)^2

直接开平方得:x-4/6=± √[? +(4/6)^2 ]

∴x= 4/6± √[? +(4/6)^2 ]

∴原方程的解为x?=4/6√10/6,x?=4/6√10/6 .

3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b^2-4ac的值,当b^2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5

解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0  ∴a=2,b=-8,c=5  b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0  ∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/(2a)  ∴原方程的解为x?=,x?= .

4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程:

⑴ (x+3)(x-6)=-8 ⑵ 2x^2+3x=0  ⑶ 6x^2+5x-50=0 (选学) ⑷x2-2(+)x+4=0 (选学)

⑴解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得  x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)  (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)  ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)  ∴x^1=5,x^2=-2是原方程的解。

⑵解:2x^2+3x=0  x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)  ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)  ∴x1=0,x2=-是原方程的解。 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。

⑶解:6x^2+5x-50=0  (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)  ∴2x-5=0或3x+10=0  ∴x1=,x2=- 是原方程的解。

⑷解:x2-2(+)x+4 =0 (∵4 可分解为2 2 ,∴此题可用因式分解法)  (x-2)(x-2)=0  ∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结: 一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。

但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:元法,配方法,待定系数法)。

一元三次方程

就是关于立方的方程

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:

⑴将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

⑵x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

⑶由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以⑵可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得

⑷x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知

⑸-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得

⑹A+B=-q,AB=-(p/3)^3

⑺这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而⑹则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即

⑻y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

⑼对比⑹和⑻,可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a

⑽由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可化为

⑾y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将⑼中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入⑾可得

⑿A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

⒀将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

⒁x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式 ⒁只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。

x^y就是x的y次方好复杂的说塔塔利亚发现的一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果作一个横坐标平移y=x+s/3,那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是待定的参数。

代入方程,我们就有

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理论可知,一定可以适当选取a和b,使得在x=a-b的同时,

3ab+p=0。这样上式就成为

a3-b3=q

两边各乘以27a3,就得到

27a6-27a3b3=27qa3

由p=-3ab可知

27a6 + p3 = 27qa3

这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得a。进而可解出b和根x。

一元四次方程

费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样,可以用一个坐标平移来消去四次方程

一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程:

x4=px2+qx+r

关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数

a,我们有

(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0,即

q2 = 4(p+2a)(r+a2)

这是一个关于a的三次方程,利用上面一元三次方程的解法,我们可以

解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式,开方后就是一个关于x

的一元二次方程,于是就可以解出原方程的根x。

最后,对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算),这称为阿贝耳定理。

⒈根据问题变未知数

⒉围绕未知数,寻找问题中的等量关系

⒊利用等量关系列方程

⒋解方程,并作答


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