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群(数学概念)

在数学中,表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构,包括阿贝尔群、同态和共轭类。

若集合

1. 封闭性:即G的任意两个元素在

2. 结合律:

3. 单位元:

4. 逆元:

有时由于上下文的原因,群上的二元运算亦可称为加法,此时该运算通常记为

例1

证:1)封闭性:1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1

2)结合律:成立

3)单位元:1

4)逆元素:1的逆元是1,-1的逆元是-1

例2

证:1)封闭性:除以n的余数只能是

2)结合律:成立

3)单位元:0

4)逆元素:对任意元素a有

定义

例集合

定义

这个群称为一般线性群,记为

若一个群

则称群

例如,群

若对于两个群

对G中任意元素a,b,都有

则称映射

如果映射

如果映射

易证得,同态有如下性质:

其中

经典的同态有

是阿贝尔群

经典的同构有:

(1)

是正实数乘法群到实数加法群的同构。

(2)

其中 ,

映射

一般可以把

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