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余数定理

余数定理(Polynomial remainder theorem)是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是 f(a)。若f(a)=0,则(x-a)为多项式f(x)的因式。例如,(5x+4x-12x+1)/(x-3) 的余式是 53+43-123+1=136。

多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a)。 [1]

推论:

根据除法的定义及性质可知,被除数=除数×商+余数。

设多项式

注意:若除式不为

例:求

解:在这里

例1:求

解:由于除式是2次多项式,所以设余式为

解得

故余式为

例2:求

解:除式的次数为3,所以设余式为

再把

解方程组得

所以余式为

因式分解

解:易知当

∴将多项式展开后应含有因式

设原式

∴原式


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