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引力场方程

引力场方程是指描述引力场的时空几何量,作为引力场源的物质能量动量张量的方程。这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想。

1905年爱因斯坦发表狭义相对论后,他开始着眼于如何将引力纳入狭义相对论框架的思考。以一个处在自由落体状态的观察者的理想实验为出发点,他从1907年开始了长达八年的对引力的相对性理论的探索。在历经多次弯路和错误之后,他于1915年11月在普鲁士科学院上作了发言,其内容正是著名的爱因斯坦引力场方程。这个方程式的左边表达的是时空的弯曲情况,而右边则表达的是物质及其运动。“物质告诉时空怎么弯曲。时空告诉物质怎么运动。”(惠勒语)它把时间、空间和物质、运动这四个自然界最基本的物理量联系了起来,具有非常重要的意义。

爱因斯坦的引力场方程是一个二阶非线性偏微分方程组,数学上想要求得方程的解是一件非常困难的事。爱因斯坦运用了很多近似方法,从引力场方程得出了很多最初的预言。 [1]

爱因斯坦场方程

说明:这是一个二阶张量方程,

含宇宙常数项的场方程

说明:式中及以下的λ是宇宙常数,其物理意义是起到斥力作用的负压强场。考虑真实宇宙的各向同性解R-W度规,静态与物质条件不相容,即不存在一个静态的满足宇宙学原理(均匀且各向同性)的解。如果增加宇宙常数项,选取适当的Λ值,就可以得到静态宇宙度规。如果从物理意义上理解的话,把宇宙常数项移到式右边,则是:

场方程为非线性的。

爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说,电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系(亦即两个解的线性叠加仍然是一个解)。另个例子是量子力学中的薛定谔方程,对于概率波函数也是线性的。而场方程,对于待求量度规张量的二阶导数是线性的,对度规的一阶导数却是二次的。

对应原理

透过弱场近似以及慢速近似,可以从爱因斯坦场方程退化为泊松方程。事实上,场方程中的比例常数是经过这两个近似,跟泊松方程比较后得出。

爱因斯坦场方程如下图所示:

其中

Guv是爱因斯坦张量;

Ruv是从黎曼张量缩并而成的里奇张量,代表曲率项,表示空间弯曲程度;

R是从里奇张量缩并而成的曲率标量;

guv是度规张量;

Tuv是能动张量,表示了物质分布和运动状况;

G是万有引力常数;

c是真空光速。

整个方程的意义是:空间物质的能量-动量分布决定空间的弯曲状况

这个方程是一个二阶非线性张量方程 [2]

张量是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射,其分量是n维空间内n的阶数次方个数,其中每个分量都是坐标的函数, 而在坐标变换时,这些分量也依照某些规则作线性变换 [3]

张量之所以重要,在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。这也是为相对论研究时空下的不变性做了基础数学奠基。张量概念是矢量概念的推广,矢量是一阶张量。

零阶张量 (r = 0) 为标量 ,第一阶张量 (r = 1) 为矢量 , 第二阶张量 (r = 2) 的分量可以排布成矩阵的形式 。

从代数角度讲, 它是向量的推广。我们知道,向量可以看成一维的“表格”(即分量按照顺序排成一排),矩阵是二维的“表格”(分量按照纵横位置排列), 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似,定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。

爱氏理论的建立也得益于张量分析的发展,广义相对论完全由张量语言表述,可以这样说,没有张量语言的发展,爱氏的弯曲时空理论,就缺乏描述工具,不能建立。

爱氏的场方程是一个非线性二阶张量方程,用黎曼几何来描述时空背景。

黎曼几何属于非欧几何,实际上它是欧氏几何的发展。欧氏几何是把认识停留在平面上了,所研究的范围是绝对的平的问题,认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。

但是假如我们生活的空间是一个双曲面,这个双曲面,我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩,我们就在这个双曲面里画三角形,这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面,我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线,那么这样的三角形就是罗氏三角形,经过论证发现,任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度,无论怎么画都不能超出180度,但是当把这个双曲面渐渐展开时,一直舒展成绝对平的面,这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形,也就是我们在初中学的平面几何,其内角和自然是180度。

黎曼几何作为非欧几何的一种,它与罗巴切夫斯基几何相比,有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系; 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础,建立曲线坐标系中的微分方法。

罗氏几何是第一个被提出的非欧几何学,它的基本观点是: 第一,第五公设不能被证明; 第二,可以在新的公理体系中展开一连串推理,得到一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,形成新的理论。

罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处,仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反: 过直线外一点,不能做直线和已知直线平行。也就是说,黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点,黎曼几何学不承认存在平行线。

很自然就有另一条公设: 直线可以延长至任意长度,但长度是有限的,这可以类比为一个球面。黎曼几何是通过微分几何的途径建立起来的,因此与罗氏几何根本不同。

黎曼几何学的公理体系引进了一种弯曲的几何空间(它可以通过拉梅引进的曲线坐标系描述),黎曼在构想这种几何学的时候,就想设法建立起相应的代数结构。这个目标黎曼本人没有实现,但沿着他开辟的道路,克里斯托夫和里奇完成了新几何学的构建。换句话说,张量分析构成了黎曼几何学的核心内容。

这表若干方面:

黎曼空间中的曲率是一个张量,其有关运算需采用绝对微分法; 2. 黎曼空间的度量以度量张量表达;

3. 黎曼空间的平行定义为标积保持不变(即与曲线的夹角保持不变),依赖克里斯托夫符号;

4. 黎曼空间的直线(短程线)方程的建立依赖协变微分。正因为有了张量分析这个工具,黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能,从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚,从根本上与微分几何实现了传承,并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步,使得几何学与代数学更紧密地联系起来。


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