网站地图
最大模原理

在复分析中,最大模原理说明如果单变量复变函数 f 是一个全纯函数,那么它的模|f| 的局部最大值不可能在其定义域的内部取到。 [1]

换句话来说,全纯函数f要么是常数函数,要么对于任意的在其定义域之内的z0,都存在一个足够靠近它的点z,使得f在后者上的取值的模 |f(z)| 比 |f(z)0| 更大。

f为在复平面C的某个连通开子集D上定义的单复变全纯函数。如果z0D中一点,使得对它任意邻域上的其它的点z都有

首先注意到等式: [2]

logf(z) = log |f(z)| + i argf(z)

于是,对于复变量自然对数, log |f(z)| 是一个调和函数。 由于z0是这个函数的一个局部极大值,根据极大值定理,|f(z)| 在定义域上是常数。因此,运用柯西-黎曼方程可以得到:f'(z)=0。于是可以推出f(z) 是一个常数函数。

通过取倒数,可以得到对应的最小模原理。后者声称如果f在一个有界区域D内是全纯函数,并在其边界上连续,且在所有点上非零,那么函数 |f(z)| 的最小值只会在D的边界上取到。

同时,最大模原理可以被看作是所谓的开映射定理的一个特例。开映射定理声称,一个全纯函数必然将开集映射到开集。如果 |f| 在定义域内部一点a达到极大值,那么a的一个足够小的领域在f映射下的像集必然不是开集。于是,f必然是常数函数。

最大模原理在复分析的许多领域中都有着应用,可以产生很多重要的结果,比如:

用于证明代数基本定理:使用最大模原理的证明是一个基本的复分析的证明,可以在很多复分析教材中看到。

用于证明施瓦茨引理,一个在复分析中有广泛引应用并可以推出很多结果的定理。

其推广是弗拉格门-林德洛夫原理,将结果扩展到定义域无界的函数。


相关文章推荐:
复分析 | 全纯函数 | | 定义域 | 内部 | 复分析 | 复分析 | 全纯函数 | | 定义域 | 内部 | 常数函数 | 复平面 | 邻域 | 自然对数 | 调和函数 | 柯西-黎曼方程 | 倒数 | 开映射定理 | 代数基本定理 | 施瓦茨引理 |
相关词汇词典