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最大素数

互联网梅森素数大搜索(GIMPS)项目宣布发现第 51 个梅森素数和已知最大的素数:2^82,589,933-1,共有 24,862,048 位。发现者是 GIMPS 志愿者 Patrick Laroche,时间是在 2018 年 12 月 7 日。

素数也叫质数,是只能被自己和1整除的数。按照规定,1不算素数,最小的素数是2,其后依次是3、5、7、11等等。  早在2500年前,希腊数学家欧几里德就证明了素数是无限的,并提出少量素数可写成“2的n次方减1(2^n-1)”的形式,这里n也是一个素数。但是目前人类已知的素数很有限,因为数字越大,要发现新的素数就越困难。不过,很多数学家曾对素数问题进行过研究,17世纪的法国教士马丁梅森就是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1(2^n-1)”形式的素数称为梅森素数。随后,以梅森素数的形式,最大素数的记录被不断刷新。

1876年,数学家卢卡斯证明了2^127-1是当时已知的最大素数。这个记录保持了75年,这是一个39位的数。

直到1951年,借助于新出现的电子计算机,人们才发现有79位数字的更大素数。1952年时,最大素数是2^2,281-1,有687位数。位数在1,000位以上的素数到1961年才被发现,它是2^4,423-1,共有1332位数。从1951年到1971年的20年间,最大素数的纪录被不断刷新。1971年,美国数学家塔克曼在纽约州的纽克顿利用国际商业机器公司的IBM360/91型电子计算机,历时39分26.4秒,算出了当时的最大素数2^19,937-1,这是一个6,002位的数字,它最前面的五位数是43,154,最后面的三位数是471。

1978年10月,世界几乎所有的大新闻机构(包括中国的新华社)都报道了以下消息:两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数:M21701。

2008年8月,美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的计算机专家史密斯(E.Smith)通过参加了一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目,发现了第46个也是最大的梅森素数2^43,112,609-1,该素数也就是2自身相乘43,112,609次减1,它有12,978,189位数,如果用普通字号将这个巨数连续写下来,它的长度可超过50公里!最近,这一成就被美国的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一,排名在第29位。

据英国《新科学家》杂志网站报道,美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组于2013年1月25日发现了已知的最大梅森素数2^57,885,161-1 (即2的57,885,161次方减1);该素数有17425170位,如果用普通字号将它连续打印下来,它的长度可超过65公里!

据外媒报道,美国州立中密苏里大学柯蒂斯库珀(Curtis Cooper)通过GIMPS项目发现了第49个梅森素数 2^74,20,7281-1(被称为M74207281),为GIMPS项目诞生20周年献礼。

2017年12月26日,互联网梅森素数大搜索(GIMPS)项目宣布发现第 50 个梅森素数和已知最大的素数:2^77,232,917-1,共有 23,249,425 位。该素数已被多人使用不同的硬件和软件完成验证。发现者是 GIMPS 志愿者 Jonathan Pace,他住在田纳西州的 Germantown,是一位电机工程师,他有资格获得 3000 美元的研究发现奖。GIMPS 是一个分布式计算项目,至今已有 20 年历史,它利用志愿者的空闲 CPU 创建了一个遍布全球的超级计算机,它的 prime95 软件此前发现了英特尔处理器的一个漏洞。

2018年12月7日,住在美国佛罗里达州奥卡拉市的Patrick Laroche也是通过GIMPS项目发现了第51个梅森素数:2^82,589,933-1(被称为M82589933),共有24,862,048位。 [1]

序号

素数

位数

发现人

时间

48

2^57,885,161-1

17,425,170

Curtis Cooper

2013

47

2^43,112,609-1

12,978,189

Edson Smith

2009

46

2^42,643,801-1

12,837,064

Odd M. Strindmo

2009

45

2^37,156,667-1

11,185,272

Hans-Michael Elvenich

2008

44

2^32,582,657-1

9,808,358

Curtis Cooper及Steven Boone

2006

43

2^30,402,457-1

9,152,052

Curtis Cooper及Steven Boone

2005

42

2^25,964,951-1

7,816,230

Martin Nowak

2005

41

2^24,036,583-1

7,235,733

John Findley

2004

40

2^20,996,011-1

6,320,430

Michael Shafer

2003

39

2^13,466,917-1

4,053,946

Michael Cameron

2001

38

2^6,972,593-1

2,098,960

Nayan, Woltman, Kurowski

1999

37

2^3,021,377-1

909,526

Clarkson, Woltman, Kurowski

1998

36

2^2,976,221-1

895,932

Spence, Woltman

1997

35

2^1,398,269-1

420,921

Armengaud, Woltman

1996

34

2^125,7787-1

378,632

Slowinski & Gage

1996

33

2^859,433-1

258,716

Slowinski & Gage

1994

32

2^756,839-1

227,832

Slowinski & Gage

1992

31

2^216,091-1

65,050

David Slowinski

1985

30

2^132,049-1

39,751

David Slowinski

1983

29

2^110,503-1

33,265

Welsh & Colquitt

1988

28

2^86,243-1

25,962

David Slowinski

1982

27

2^44,497-1

13,395

Slowinski & Nelson

1979

26

2^23,209-1

6,987

L. Curt Noll

1979

25

2^21,701-1

6,533

Nickel & Noll

1978

24

2^19,937-1

6,002

Bryant Tuckerman

1971

23

2^11,213-1

3,376

Donald B. Gillies

1963

22

2^9,941-1

2,993

Donald B. Gillies

1963

21

2^9,689-1

2,917

Donald B. Gillies

1963

20

2^4,423-1

1,332

Alexander Hurwitz

1961

19

2^4,253-1

1,281

Alexander Hurwitz

1961

1995 年,美国程序设计师乔治沃特曼整理有关梅森素数的资料,编制了一个梅森素数计算程序,并将其放置在因特网上供数学爱好者使用,这就是分布式计算因特网梅森素数大搜索(GIMPS)项目。目前有6万多名志愿者、超过20万台计算机参与这项计划。该计划采取分布式计算方式,利用大量普通计算机的闲置时间,获得相当于超级计算机的运算能力,第 37、38 和 39 个梅森素数都是用这种方法找到的。美国一家基金会还专门设立了 10 万美元的奖金,鼓励第一个找到超过千万位素数的人。 [2]

不存在最大质数!

上小学的时候,我们就知道所有的正整数可以分为质数(素数)和合数两类,当然还特别规定了“1既不是质数,也不是合数”。100以内的质数,从小到大依次是:2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用说了,你一定背不下来。那么质数的个数是不是有限多的呢?

(附:100以内的质数从小到大依次是:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61, 67,71,73,79,83,89,97。共计25个。)

在解决这个问题之前,我们先来看看另一个问题:怎样判断一个已知自然数是不是质数。比如,143是不是质数?

你一定会按照下面这个步骤去判断: 先用最小的质数2去除143,不能整除;再用3去试试,还是不行;再依次用5、7试试,还是不行;11呢?行!143=11×13,所以143不是质数,而是合数。所以,判断一个数是不是质数,只需用比这个数小的所有质数,依次去除它即可,如果都不能整除的话,这个数就一定是质数;相反,只要这个数能够被某一个质数整除,这个数就一定是合数。这种方法所依据的原理是:每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积。不用说,这叫做“分解质因数”,也是小学数学的知识。

我们先假设质数的个数是有限多的,用p1,p2,……,pn表示,那么必然存在一个“最大的质数”,设这个“最大的质数”为pn。下面我们找出从1到pn之间的所有质数,把它们连乘起来,就是:

2×3×5×7×11×13×……×pn,设为N

把这个连乘积再加上1,得到一个相当大的数M:

M=2×3×5×7×11×13×……×pn+1,即M=N+1;

那么这个M是质数还是合数呢?

如果M为质数,因M要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的全部素数的集合中。

如果M为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和M(N+1)的最大公约数是1,所以M不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的全部素数的集合中。

因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。


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