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最小数原理

最小数原理是自然数所具有的一种基本性质,即任何非空的自然数集中都有最小的自然数。最小数原理的另一种表述是:设N是全体自然数组成的集合,M是N的一个非空子集,则M中必有最小数。该原理对于M是整数集、有理数集或实数集的有限非空子集,结论又是明显的,因此还有如下的原理:1.设R是全体实数组成的集合,T是R的有限非空子集,则T中必有最小数;2.设R是全体实数组成的集合,T是R的有限非空子集,则T中必有最大数。 [1]

集合理论的重要性在于它的方法论意义,我们知道,有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的,其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质,能为解题提供方便,而利用这种极端性的依据之一就是有关集合的一条简单性质。

最小数原理I 设M是自然数集的一个非空子集,则M中必有最小数。

最小数原理Ⅱ设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最小数。

推论 设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最大数。 [2]

由于最小数原理实际上是一个存在性定理,因而与证明大量存在性问题有着密切的关系,运用最小数原理处理存在性问题的关键首先是构造满足某种性质的数集M,然后利用M中的最小数证明命题。

例1】设S为整数的非空集,满足:

(1)如果

(2)如果

求证:在S中存在一个整数d,使得S由d的所有倍数组成。

证明:若S={0},则命题显然成立。

若S≠{0},设S+为S中所有正数组成的集合,则S+≠(这是因为,S非空,存在非零c∈S,由条件(1)知,0=c-c∈S,-c=0-c∈S,在c,-c中至少有一个为正)。从而S+中有最小数,记为d,由(2),nd∈S(n∈Z),即{nd|n∈Z}

另一方面,对任意的h∈S有h=nd+r,0≤r<d,由(1)知,r=h-nd∈S,再由d是属于S的最小正整数,故只可能r=0,即h=nd.所以S

所以S={nd|n∈Z},命题成立。

例2】若干人聚会,其中某些人彼此认识.已知,如果某两人在聚会者中有相同数目的熟人,则他俩便没有共同的熟人。证明:若聚会者中有人至少有20个熟人,则必然也有人恰好有20个熟人。

证明: 我们考虑聚会者中熟人最多的某个人(若这样的人不止一个,则任取其中一个),记为A,设A共认识n个人,这些人设为

由于

由于n≥20,故数20在上述数列中出现,于是

例3】一次10名选手参加的循环赛中无平局,胜者得1分,负者得0分,证明:各选手得分的平方和不超过285。

证明:由于得分的情况仅有有限多种,其中必有一种的平方和取最大值,这时各选手的得分

于是,在

所以各选手得分的平方和不超过285。

例4】某地区网球俱乐部有20名成员,举行14场单打比赛,每人至少上场一次。求证:必有6场比赛,其12个参赛者各不相同。

证明: 以无序对

设M为S的一个非空子集,且M中所含选手对中出现的所有选手互不相同,显然这样的子集存在有限多个,设这种子集中元素个数最多的一个为

假设 r≤5,由于

所谓无穷递降法是这样一种解题模式:在对问题作适当假设的前提下,构造某个无穷递降过程,但从问题本身看,这个过程应当是有限的,从而产生了矛盾,这说明假设不对,从而肯定了原命题的正确性,有时候我们可以让这个无穷递降的过程从某个最小(或最大)的元素出发,这样就把最小数原理与无穷递降法联系在一起了。

例5】证明:方程

证明: 假设方程(1)有正整数解,设

下例的解法与无穷递降法有某些类似之处.

例6】在某个星系的每一个星球上,都有一位天文学家在观测最近的星球,若每两个星球间的距离都不相等,证明:当星球的个数为奇数时,一定有一个星球任何人都看不到。

证明: 设有n个星球(同时也表示n个天文学家)

如果其他天文学家都看不到A1,A2,则再从n-2颗星球中选择距离最近的两个。依此类推,因为n是奇数,所以最后存在一颗星球,任何人都看不见它。 [2]


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