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圆柱螺旋线

圆柱螺旋线是一种常见的曲线,是螺旋线的一种。一个动点沿圆柱面的母线作匀速直线运动,同时该母线又绕圆柱面的轴线作匀速转动,点的这种复合运动的轨迹称为圆柱螺旋线。决定一圆柱螺旋线的三个基本要素是:圆柱螺旋线的直径D、导程H及旋向。

动点旋转一周,其沿轴向上升的高度称为导程,用S表示。动点绕轴螺旋2π/n角度时,沿轴上升的距离为S/n。根据动点旋转方向,螺旋线可分为左螺旋线和右螺旋线两种,符合右手四指握旋转方向,动点沿拇指指向上升的称为右螺旋线,如图1(a)所示;符合左手四指握旋转方向,动点沿拇指指向下降的称为左螺旋线,如图1(b)所示。

螺旋线上每一点的切线,对圆柱正截面的倾角都相等,这一角度称为圆柱螺旋线的升角。它的余角称为螺旋角。

螺旋线展开时为一直线,它是以圆柱正截面圆周长为底边,导程为高的直角三角形的斜边。由于螺旋线展开后为一直线,因此它是圆柱面上不在同一素线的两点之间的最短距离线。

在空间,一个动点M沿直线L作匀速直线运动,同时又以等角速度绕同平面的轴线Oz旋转,M的轨迹是一条空间(非平面)曲线,称为螺旋线。它分为左旋与右旋两种。螺旋线是绕在圆柱面或圆锥面上的曲线,而它的切线与定直线(曲面的母线)的交角,是固定不变的。

当动直线L平行于轴线Oz时,称为圆柱螺线。它是工程上应用最广泛的一种空间曲线,它的参数方程是:

它在轴线Oz方向的投影是圆;在与轴线垂直方向的投影,是正弦曲线。

自然界和日常生活中处处出现螺旋线,例如蝙蝠出洞时的飞行轨迹;植物的茎与叶;人的耳蜗等等。螺旋线还是生物学与核物理的一种重要结构,以光速运动的中微子和反中微子的轨迹,是某种具有相反(左与右)旋转性的螺旋线,而通常的螺钉或螺母具有右旋性。自行车左、右脚蹬轴的螺纹分别具有左、右旋性。

圆柱螺旋线参数方程为:

式中,θ=ωtω为角速度,h称为螺距,β称为螺旋角,式中对右螺旋线取正号,对左螺旋线取负号。如果以弧长s为参数,则其方程为:

决定一圆柱螺旋线的三个基本要素是:圆柱螺旋线的直径D、导程H及旋向。根据已知三要素D,H,旋向,就可以画出螺旋线的投影图,如图3所示。如将圆柱表面展开,则螺旋线展成一直线,这条直线为直角三角形的斜边,该直角三角形的一条直角边长为导程H,另一直角边长为圆柱底圆的周长πD。显然,在一个导程内,螺旋线的长度为

如图4所示,圆柱的轴线为铅垂线,直径为d,导程为S,点A是起点的右圆柱螺旋线,其投影作图步骤如下。

(1) 作出直径为d,高为S的圆柱面的两面投影,然后将水平投影(圆)和正面投影上的导程分成相同的等分,图中为12等分。

(2) 由圆周上各等分点引竖直线,与导程上相应各等分点所作的水平线相交,交点a′,1′,2′,…,12′即为螺旋线上各点的正面投影。

(3) 依次将a′,1′,2′,…,12′各点连成光滑曲线,即得到螺旋线的正面投影。在可见圆柱面上的螺旋线是可见的,其投影画成实线,在不可见圆柱面上的螺旋线是不可见的,其投影画成虚线。

圆柱螺旋线的正面投影是正弦曲线,水平投影是圆。


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