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正比例函数

一般地,两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数,x的次数为1,且k≠0),那么y=kx就叫做正比例函数。 [1]

正比例函数属一次函数,但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式,即一次函数 y=kx+b 中,若b=0,即所谓“y轴上的截距”为零,则为正比例函数。

正比例函数的关系式表示为:y=kx(k为比例系数)。

当k>0时(一三象限),k的绝对值越大,图像与y轴的距离越近;函数值y随着自变量x的增大而增大;

当K<0时(二四象限),k的绝对值越小,图像与y轴的距离越远。自变量x的值增大时,y的值则逐渐减小。 [2]

正比例函数属于一次函数,是一次函数的一种特殊形式。即一次函数形如:y=kx+b(k为常数,且k≠0)中,当b=0时,则叫做正比例函数。 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx。 [1]

当k>0时,图像经过第一、三象限,从左往右上升,y随x的增大而增大(单调递增),为增函数; [1]

当k<0时,图像经过第二、四象限,从左往右下降,y随x的增大而减小(单调递减),为减函数。

对称点:关于原点成中心对称。 [1]

对称轴:自身所在直线;自身所在直线的垂直平分线。

正比例函数的图像是经过坐标原点(0,0)和定点(1,k)两点的一条直线,它的斜率是k(k表示正比例函数与x轴的夹角大小),横、纵截距都为0,正比例函数的图像是一条过原点的直线。 [1]

正比例函数y=kx(k≠0),当k的绝对值越大,直线越“陡”;当k的绝对值越小,直线越“平”。

1、已知一点坐标,用待定系数法求函数解析式。先设解析式为y=kx,再代入已知点坐标,解出k的值。

2、解出k的值后,在数轴上标出各点并连接个点

(一) [2]

1、在x允许的范围内取一个值,根据解析式求出y的值;

2、根据第一步求的x、y的值描出点;

3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

(二)

1、已知一点坐标,用待定系数法求函数解析式。先设解析式为y=kx,再代入已知点坐标,解出k的值;

2、解出k的值后,在数轴上标出各点并连接个点。 [3]

正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 [2]

比如斜率问题就取决于k值,当k越大,则该函数图像与x轴的夹角越大,反之亦然。

还有,y=kx 是 y=k/x 的图像的对称轴。

①正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做成正比例关系。 [1]

②用字母表示:如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,(一定)正比例关系可以用以下关系式表示:

③正比例关系两种相关联的量的变化规律:对于比值为正数的,即y=kx(K为常数,k≠0),此时的y与x,同时扩大,同时缩小,比值不变。例如:汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间 成正比例 。以上各种商都是一定的,那么被除数和除数所表示的两种相关联的量成正比例关系。

注意:在判断两种相关联的量是否成正比例时,应注意这两种相关联的量,虽然也是一种量随着另一种的变化而变化,但它们相对应的两个数的比值不一定,那它们就不能成正比例。例如:一个人的年龄和它的体重,就不能成正比例关系,正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。 而单价数量与总价是成正比的(单价不变,总价随着数量的增减而增减)。

首先通过5个问题,得出5个函数,观察这5个函数,可纳出正比例函数概念。 [2]

根据上面的5个实际问题,我们得到5个函数。下面观察这5个函数的共同点,以便归纳出正比例函数概念。

①h=2t ;② m=7.8n; ③s=0.5t; ④T=t/3 ;⑤y=200x。

这5个函数有什么共同的特点?

1:都有自变量。

2:都是函数。

3:都有常量。

这5个函数的右边都是常量和自变量的什么形式?

这5个函数都是常量与自变量的乘积形式,都可表达为y=kx(k不等于0)的形式。

下面是4个函数,请判断哪些是正比例函数?

①y=3; ②y=2x; ③y=1/x; ④y=x^2。

解答:

②是正比例函数。因为它符合正比例函数的的定义。①,③,④则不是正比例函数。①:它为常数函数,无自变量。③:它为反比例函数。 ④:它为二次函数。


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