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正棱台

正棱台(regular prismoid)是一种特殊的棱台,是由正棱锥截得的棱台。正棱台的两底面是两个相似正多边形,侧面是全等的等腰梯形,中国古算书上把正四棱台称为方亭或方台。

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,介于底面和截面之间的部分叫做棱台(图1)。其各部分的名称如图2所示。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台

正棱台的主要性质有:

1.正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形;

2.各侧棱都相等;

3.侧面是全等的等腰梯形;

4.斜高都相等;

5.对角面是等腰梯形;

6.两底面中心的连线垂直于底面;

7.各侧棱和底面所成的角相等;

8.各侧面和底面所成的二面角相等 。

正棱台的侧面展开图图3(b)是由各个侧面组成的平面图形,它是由一些有公共顶点的等腰梯形组成的,这个公共顶点即为等腰梯形两腰延长后的交点。等腰梯形的上、下底就是正棱台上、下底面边长.等腰梯形的腰就是正棱台的侧棱长。

图3是正棱台和它的侧面展开图,这个侧面展开图是由几个全等的等腰梯形组成的,每个梯形的上底和下底分别是正棱台上底面和下底面多边形的边,两腰是正棱台的侧棱,设这个正棱台上、下底面周长分别是c'和c,斜高是h',我们有下面的定理 :

定理 正棱台的侧面积等于它的两个底面周长的和与斜高的乘积的一半,即

设棱台的上底面积为S,下底面积为S,高为h,它的体积为V,则棱台的体积计算公式如下:

棱台的体积等于这三个棱锥的体积之和:

1.以棱台的高作高,它的下底作底的;

2.以棱台的高作高,它的上底作底的;

3.以棱台的高作高,它的上下两底面积的比例中项作底的 。


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