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正则奇点

在线性二阶常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的奇点z0的邻域上,方程的两个线性独立解一般来说也是以z0为奇点的,对这两个解在z0邻域上展开(注意不是泰勒展开),全都具有有限个负幂项,则该奇点z0称为方程的正则奇点。

考虑线性微分方程组

对于上面方程的解 y(x) ,对于给定的任意角范围

对于二阶齐线性微分方程

而言,如果函数 P(x) 和 Q(x) 在

一个与初值问题的初值有关的奇点称为流动奇点(movable singular point) ,也就是说,随着初值的改变,奇点可能消失,也可能奇性变强,奇点的位置依赖与特解的选择。反之,如果奇点与初值无关,则称为固定奇点(fixed singular point)。比如说,如果某方程的通解为

(1)(庞加莱定理)任何线性方程只有固定奇点没有流动奇点;

(2)(潘勒韦定理)方程

(3)(富克斯定理)如果方程 dw/dz=R(w,z)没有流动的本性奇点,其中 R(w,z)是 w 和 z 的有理函数,则该方程必为里卡蒂微分方程。

在线性二阶常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的奇点

一般来说,复平面上使方程

有关奇点点几种常见分类有:正则奇点、非正则奇点、流动奇点、固定奇点等。


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