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直线(数学概念)

直线由无数个点构成。直线是面的组成成分,并继而组成体。没有端点,向两端无限延长,长度无法度量。直线是轴对称图形。

它有无数条对称轴,其中一条是它本身,还有所有与它垂直的直线(有无数条)对称轴。在平面上过不重合的两点有且只有一条直线,即不重合两点确定一条直线。在球面上,过两点可以做无数条类似直线。

构成几何图形的最基本元素。在D希尔伯特建立的欧几里德几何的公理体系中,点、直线、平面属于基本概念,由他们之间的关联关系和五组公理来界定。

一般式

适用于所有直线的方程: [1]

点斜式

知道直线上一点

斜截式

知道直线在

截距式

知道直线与

该表达式不适用于和任意坐标轴垂直的直线

两点式

知道直线经过点

法线式

其中

点方向式

知道直线上一点

点法向式

1. 一般方程 [2]

2. 点向式方程 [2]

设直线方向向量为(m,n,p ),经过点( x0,y0,z0

3. x0y式

x=kz+b,y=lz+b

设平面e的法向量为c 直线m、n的方向向量为a、b

把平面ax+by+cz+d=0的法向量为(a,b,c);直线x=kz+b,y=lz+a的方向向量为(k,l,1)代入即可

则直线所成的角:m,n所成的角为a。

cosa=cos<a,b>=|a*b|/|a||b|

直线和平面所成的角: 设b为m和e所成的角,则b=π/2±<a,c>。sinb=|cos<a,c>|=|a*c|/|a||c|

平面两直线所成的角:设K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1),tan<l1,l2>=(k1-k2)/(1+k1k2)

异面直线的距离:l1、l2为异面直线,l1,l2公垂直线的方向向量为n、C、D为l1、l2上任意一点,l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|

点到平面的距离:设PA为平面的一条斜线,O是P点在a内的射影,PA和a所成的角为b,n为a的法向量。

易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos<PA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离;

点到直线的距离:A∈l,O是P点在l上的射影,PA和l所成的角为b,s为l的方向向量。

易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA,s>|=|(PA|2|s|2|-|PA*s|2)1/2/|s|

平面内:直线ax+by+c=0到M(m,n)的距离为|am+bn+c|/(a2+b2)1/2

平行直线:l1:ax+by+c=0,l2:ax+by+d=0,l1到l2的距离为|c-d|/(a2+b2)1/2

备注:

直线是曲线的暂短停留。

一般情况下,点与直线的距离,是指点到直线的最短距离,即垂直距离。 [3]

在二维直角坐标中,直线 Ax+By+C=0 与点 (p,q) 的最短距离为

给出向量式

不考虑重合的情形,在二维平面中,两条相交直线可以相交或平行。

给定两条直线

或等价地,

当中

这时两线的相交点可从克莱姆法则求得

若两线相交,则会形成夹角。两线之间的夹角,通常指不大于90°的一只。

在二维平面上,给定直线y=mx+b,该线与x-轴的夹角为

给定两条直线

而其他情况,两线相交所形成的夹角

给定相交直线向量式

一般情况下,两条直线的距离,是指最短距离。

二维情况下,两条相交直线的距离必然为 0 。

若有两条平行直线

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