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置换(数学术语)

置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义:

在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射;在有限集的情况,便与上述定义一致。

在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏。例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中不含5,6。此时通常会标明为“从n个对象取r个对象的置换”。

在集合论与抽象代数等领域中,“置换”一词被保留为集合(通常是有限集)到自身的双射的一个称呼。例如对于从一到十的数字构成的集合,其置换将是从集合到自身的双射。一个集合上的置换在函数合成运算下构成一个群,称为对称群或置换群。 [1]

由于元素的有限集可以一一对应到集合,有限集的置换可以化约到形如 {1, ..., n} 的集合之置换。此时有两种表示法。

第一,利用矩阵符号将自然排序写在第一列,而将置换后的排序写在第二列。

第二,借由置换的相继作用描述,这被称为“轮换分解”。

长度等于二的轮换称为换位,这种轮换是将元素交换,并保持其它元素不变。对称群可以由换位生成。

轮换长度为偶数的轮换称为偶轮换,反之则为奇轮换;由此可定义任一置换的奇偶性,并可证明:一个置换是偶置换的充要条件是它可以由偶数个换位生成。偶轮换在置换群中构成一个正规子群,称为交错群。 [2]

在计算机学科中,赋值/代入的差别表明函数式编程与指令式编程之差异。纯粹的函数式编程并不提供赋值机制。现今数学的惯例是将置换看作函数,其间运算看作函数合成,函数式编程也类似。就赋值语言的观点,一个代入是将给定的值“同时”重排,这是个有名的问题。

(2,5,1,4,3,6)的置换图取一个无向图G,将图Gn个顶点标记v1,...,vn,对应一个置换( s(1) s(2) ... s(n) ),当且仅当s(i) < s(j) 而i>j,则图的vivj相连,这样的图称为置换图。 [3]

置换图的补图必是置换图。

多数计算机都有个计算置换数的nPr键。然而此键在一些最先进的桌上型机种中却被隐藏了。例如:在 TI-83 中,按 MATH、三次右键、再按二。在卡西欧的图形计算机中,按 OPTN,一次右键(F6)、PROB(F3)、nPr(F2)。

多数试算表软件都有函式 PERMUT(NumberNumber chosen),用以计算置换。Number是描述物件数量的一个整数,Number chosen是描述每个置换中取物件数的整数。


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