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重差

重差:汉 代天文学家测量太阳高、远的方法。 魏 晋 时 刘徽 著文讲述这一方法,也以“重差”作篇名,附于所注《九章算术》后。 唐代刘徽著述的《重差》改名为《海岛算经》

【拼音】zhòng chà

【注音】ㄓㄨㄙ ㄔㄚ

【条目】重差

【引证解释】

汉 代天文学家测量太阳高、远的方法。 魏 晋 时 刘徽 著文讲述这一方法,也以“重差”作篇名,附于所注《九章算术》后。 唐代刘徽著述的《重差》改名为《海岛算经》。《周礼地官保氏》“六曰九数” 郑玄 注引 汉 郑司农 曰:“今有重差,夕桀、句股也。” 孙诒让 正义:“ 孔广森 云:‘重差者,重两句股,取其影差,异乘同除,此知比例,若 刘徽 《海岛经》是也。’…… 张文虎 云:‘重差者,重叠测望而知其差也。’” 章炳麟 《国故论衡原名》:“日中视日,财比三寸盂,旦莫乃如径尺铜,校以句股重差,近得其真也。”

[1]

重差理论起源于《周髀算经》的《日高图》“以表高乘两表相去为黄甲之实。以影差为黄乙之广而一,所得则变为黄乙之袤,上与日齐。”

刘徽在《九章算术序》中,进一步发展了重差术:“凡望极高、测绝深,而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛阳之城,令高八尺。南北各尽平地,同日度其正中之时,以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一。所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即日去人也。”

日去地=(H*D)/d+H;

南戴日下= 南表景 *D/d;(戴:正下方即太阳正下方到偏南边表的距离;景:通“影”)

其中H为表高,D为表间,d为景差。

《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望,取测量所得的差数,进行计算从而求得山高或谷深,这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中,从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子,“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸;1里=180丈=1800尺;1丈=10尺:1步=6尺,1尺=10寸。

今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末三合。从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末三合。问岛高及去表各几何? 答曰:岛高四里五十五步;去表一百二里一百五十步。 术曰:以表高乘表间为实;相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者:以前表却行乘表间为实;相多为法。除之,得岛去表里数。

由于前表去岛的距离不能直接测量,刘徽用同样高度的表杆前后测量,表杆与地面垂直,人眼贴地,望表杆顶和岛上山顶对齐,这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”DG=123步;再将表杆往后移动,两彪杆间距称为“表间”=1000步,依法测出“后表却行”FH=127步。

表高 =CD, 前表却行=DG 后表却行=FH 相多=FH-DG 表间=DF 岛高=AB 前表去岛远近=BD

依法得岛高AB=CDxDF/(FH-DG)+CD

前表去岛远近BD=DGxDF/(FH-DG)

今有望松生山上,不知高下。立两表齐,高二丈,前后相去五十步,令后表与前表三相直。从前表却行七步四尺,薄地遥望松末,与表端三合。又望松本,入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺,薄地遥望松末,亦与表端三合。问松高及山去表各几何? 答曰:松高一十二丈二尺八寸;山去表一里二十八步、七分步之四。术曰:以入表乘表间为实。相多为法,除之。加入表,即得松高。求表去山远近者:置表间,以前表却行乘之为实。相多为法,除之,得山去表。

CD EF 表示前后两支表杆,前表杆有刻度,用作两次测量,第一次从G点瞄准A、C两点成直线,第二次从G点校准树根J,读出前表杆上度数(入表)。

表高 =CD=2丈

前表却行=DG=7步4尺

后表却行=FH=8步5尺

相多=FH-DG

表间=DF=50步

松高=AJ

前表去山远近=BD

入表=CK=二尺八寸

松高=AJ=CK*DF/(FH-DG+CK);

前表去山远近=BD=DF*DG/(FH-DG);

今有南望方邑,不知大小。立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅三相直。当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相三合。问邑方及邑去表各几何? 答曰:邑方三里四十三步、四分步之三;邑去表四里四十五步。 术曰:以入索乘后去表,以两表相去除之,所得为景差;以前去表减之,不尽以为法。置后去表,以前去表减之,余以乘入索为实。实如法而一,得邑方。求去表远近者:置后去表,以景差减之,余以乘前去表为实。实如法而一,得邑去表。

由于待测的方城宽度AB,在东西方向,与地面平行,因此两支在C点D点插入地面与地面垂直的表杆,在此不用作直接测量,测量是依靠一根拴在C、D两根垂直表杆中间的一条水平测量绳索CD完成的。此题中一根水平测量绳作两次测量用。

景差 =入表* 后去表/ 表相去。

今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺。从勾端望谷底,入下股九尺一寸。又设重矩于上,其矩间相去三丈。更从勾端望谷底,入上股八尺五寸。问谷深几何?答曰:四十一丈九尺。术曰:置矩间,以上股乘之,为实。上、下股相减,余为法,除之。所得以勾高减之,即得谷深。

山谷深=(距间 × 上股)/(下股-上股)-句高。

今有登山望楼,楼在平地。偃矩山上,令句高六尺。从句端斜望楼足,入下股一丈二尺。又设重矩于上,令其间相去三丈。更从句端斜望楼足,入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会,复从句端斜望楼岑端,入小表八寸。问楼高几何? 答曰:八丈。 术曰:上下股相减,余为法;置矩闲,以下股乘之,如句高而一。所得,以入小表乘之,为实。实如法而一,即是楼高。

楼高=(距间 * 下股)* (入小表)/句高/(下股-上股)。

今有东南望波口,立两表南、北相去九丈,以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈,薄地遥望波口南岸,入索北端四丈二寸。以望北岸,入前所望表里一丈二尺。又却后行1去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸,与南表三合。问波口广几何?答曰:一里二百步。 术曰:以后去表乘入索,如表相去而一。所得,以前去表减之,余以为法;复以前去表减后去表,余以乘入所望表里为实,实如法而一,得波口广。

此题中一根水平测量绳,作三次测量用。

今有望清渊,渊下有白石。偃矩岸上,令句高三尺。斜望水岸,入下股四尺五寸。望白石,入下股二尺四寸。又设重矩于上,其间相去四尺。更从句端斜望水岸,入上股四尺。以望白石,入上股二尺二寸。问水深几何? 答曰:一丈二尺。 术曰:置望水上下股相减,余以乘望石上股为上率。又以望石上下股相减,余以乘望水上股为下率。两率相减,余以乘矩间为实;以二差相乘为法。实如法而一,得水深。又术:列望水上下股及望石上下股,相减,余为法。以望石下股减望水下股,余以乘矩间为实,实如法而一,得水深。

A标志水岸,S标志白石,C标志岸边;句是古代测量用具之一,有两个边成直角(如今三角板):使用时句的一边务必与地面垂直。此题用两个句,一个在C,一个在D,各测量水岸和水底白石。此题用四次测望术。

今有登山望津,津在山南。偃矩山上,令句高一丈二尺。从句端斜望津南岸,入下股二丈三尺一寸。又望津北岸,入前望股里一丈八寸。更登高岩北,却行二十二步,上登五十一步,偃矩山上。更从句端斜望津南岸,入上股二丈二尺。问津广几何? 答曰:二里一百二步。 术曰:以句高乘下股,如上股而一。所得以句高减之,余为法;置北行,以句高乘之,如上股而一。所得以减上登,余以乘入股里为实。实 如法而一,即得津广。

今有登山临邑,邑在山南。偃矩山上,令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅三相直。从勾端遥望东北隅,入下股一丈二尺。又施横勾于入股之会,从立勾端望西北隅,入横勾五尺。望东南隅,入下股一丈八尺。又设重矩于上,令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅,入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何? 答曰:南北长一里一百步;东西广一里三十三步、少半步。术曰:以勾高乘东南隅入下股,如上股而一,所得减勾高,余为法;以东北隅下股减东南隅下股,余以乘矩间为实。实如法而一,得邑南北长也。求邑广:以入横勾乘矩间为实。实如法而一,即得邑东西广。

此题用四次测望术 [2]


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