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尺规作图

尺规作图是指用刻度直尺圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题 [1] 。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质,跟现实中的并非完全相同:

1、直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度;

2、圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。

义务教育阶段学生首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”。

仅以“有限次使用无刻度的直尺和圆规作图”这样的措辞作为定义显然是不够严密的,因为不限定每“次”以内的操作复杂度的话,“有限次”就成无意义的了。

因此,一般采用的定义是基于“作图公法”的定义,即:

1. 每次的操作只能是公认允许的五项基本操作(称为五项作图公法)之一。

2. 每次操作之前,操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断,也只能是几何学中公认允许的几种。

基于“作图公法”的定义如下:

尺规作图定义

承认以下五项前提,有限次运用以下五项公法而完成的作图方法,就是合法的尺规作图:

五项前提是:

(1) 允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点(所谓“确定范围”,依下面四条的规则)。

(2) 可以判断同一直线上不同点的位置次序。

(3) 可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序。

(4) 可以判断平面上一点在直线的哪一侧。

(5) 可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。

五项公法是:

(1) 根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。

(2) 以一个已经确定的点为圆心,以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。

(3) 确定两个已经做出的相交直线的交点。

(4) 确定已经做出的相交的圆和直线的交点。

(5) 确定已经做出的相交的两个圆的交点。

也有些资料上给出的五项公法的后两条中的“交点”改为“公共点”。这两种叙述差别在于后者多包括了“切点”。但是,因为确定切点即使不算基本操作,也是可以用其它基本操作组合实现的。所以,两种叙述的定义并无本质不同。

1、作一条线段等于已知线段

2、作一个角等于已知角

3、作已知线段的垂直平分线

4、作已知角的角平分线

5、过一点作已知直线的垂线

6、已知三边作三角形

7、已知两角、一边作三角形

8、已知一角、两边作三角形

以下是尺规作图中可用的基本方法,也称为作图公法,任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法 [2]

1、通过两个已知点可作一直线。

2、已知圆心和半径可作一个圆。

3、若两已知直线相交,可求其交点。

4、若已知直线和一已知圆相交,可求其交点。

5、若两已知圆相交,可求其交点。

【已知】不共线的A、B、C三点。

【求作】过该三点之圆。

【作法】① 连接AB,连接AC;② 分别作出线段AB、AC的中点D、E;③ 过D作AB的垂线,过E作AC的垂线,两垂线相交于O;④ 以O为圆心OA长为半径作圆,即为求作之圆。

【已知】平行直线L1、L2、L3。

【求作】正△ABC,使三个顶点分别落在三条平行线上。

【作法一】① L1上任取一点D为顶点,作正三角形△DBE,使B、E落在L2上(图中虚线为正三角形简易作法);② 作过D、E直线交L3于C;③ 以B为圆心BC为半径作弧交L1于A,连接A、B、C成△ABC。

【作法二】① L2上任取一点B作三平行线公垂线交L1于E,L3于D;② 作线段EB的垂直平分线L4;③ 过D作直线DG使∠EDG = 30°,并交L4于G;④过B、G作直线交L1于A;⑤ 以B为圆心BA为半径作弧交L3于C,连接A、B、C成△ABC。

注:可将第⑤步改为,过G作AB的垂线交L3于点C.这样G,B,D,C四点显然共圆.于是可证得∠BCG=∠EDG = 30°.这样可以很快证得△ABC为等边三角形.

尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题:

■倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;

■化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积。

■三等分角:作一个角,将其分为三个相等的部分。

以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的。直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

还有另外两个著名问题:

正多边形

只使用直尺和圆规,作正五边形。

只使用直尺和圆规,作正六边形。

只使用直尺和圆规,作正七边形这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的。

只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的。

问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马数的积,解决了两千年来悬而未决的难题。

■四等分圆周

只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分.这个问题传言是拿破仑波拿巴出的,向全法国数学家的挑战。

“规”就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”就像木工使用的角尺,由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股。

矩的使用是我国古代的一个发明,山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩,女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.

《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳,右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.

春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述,《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩,以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明,公输子(即鲁班,传说木匠的祖师)之巧,不以规矩,不能成方圆.”可见,在春秋战国时期,规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度,因此使用范围较广,具有较大的实用性。

古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用,而忽视规矩的实用价值.因此,在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺规作图问题.所谓尺规作图,就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.

古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛,被关进监狱,并被判处死刑.在监狱里,他思考改圆成方以及其他有关问题,用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具,只能用一根绳子画圆,用随便找来的破木棍作直尺,当然这些尺子上不可能有刻度.另外,对他来说,时间是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》。

由于《几何原本》的巨大影响,希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。

由于对尺规作图的限制,使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题:立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家,都曾着力于研究这三大问题,虽然借助于其他工具或曲线,这三大难题都可以解决,但由于尺规作图的限制,却一直未能如愿以偿.以后两千年来,无数数学家为之绞尽脑汁,都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何,关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是超越数,化圆为方问题不可能用尺规作图解决,这才结束了历时两千年的数学难题公案。

从坐标系观点看,所有的点和线都可以用坐标、方程的参量来代替,尺规作图能够完成两根线段的和差积商,因此可做图的数成为一个域。

直线和圆都是二次方程,稍微细致的讨论可知,尺规作图能够完成开平方,也就是域的二次扩张。

因此,如果已知量与有理数生成的数域为

其中相邻的域扩张都是二次的 [3]

即除了四则运算之外,只用到开平方的,可以尺规作图。

但如果是开立方之类的情况,除了完全立方之类的特殊情况,一般不能尺规作图。

当然,开四次方八次方,可以连续开平方,所以也是可以尺规作图的。

几何三大问题如果不限制作图工具,便很容易解决.从历史上看,好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品,特别是开创了对圆锥曲线的研究,发现了一批著名的曲线等等。不仅如此,三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系。


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