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倍数

①一个整数能够被另一个整数整除,这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除,因此15是3的倍数,也是5的倍数。

②一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c,就是说,a是b的倍数。例如:A÷B=C,就可以说A是B的C倍。

③一个数的倍数有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集。 注意:不能把一个数单独叫做倍数,只能说谁是谁的倍数。

一个整数能够被另一个整数整除,那么这个整数就是另一整数的倍数。

定义:两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。

两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。

注:以下特征是就整数的十进制表示法而言。

2的倍数

一个数的末尾是偶数(0,2,4,6,8),这个数就是2的倍数。

如3776。3776的末尾为6,是2的倍数。3776÷2=1888 [1]

3的倍数

一个数的各位数之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。

4926。(4+9+2+6)÷3=7,是3的倍数。4926÷3=1642 [1]

4的倍数

一个数的末两位是4的倍数,这个数就是4的倍数。

2356。56÷4=14,是4的倍数。2356÷4=589 [1]

5的倍数

一个数的末尾是0或5,这个数就是5的倍数。

7775。7775的末尾为5。7775÷5=1555 [1]

6的倍数

一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除。

7的倍数

若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。

8的倍数

一个数的末三位是8的倍数,这个数就是8的倍数。

7256。256÷8=32,是8的倍数。7256÷8=907

9的倍数

若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。

10的倍数

若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。

11的倍数

⑴若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。如264、3080和95949392、2+4-6=11×0,3+8-0-0=11×1,9×4-(5+4+3+2)=11×2,264、308和95949392都能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是:倍数不是2而是1。

⑵将一个数从个位开始两两分隔,若所有分隔开的数和为11的倍数,则这个数为11的倍数(如32571,分隔成3 25 71,3+25+71=99,99为11倍数,所以32571是11的倍数)

12的倍数

若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。

13的倍数

若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

17的倍数

若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数。

19的倍数

若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。

若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数.

23的倍数

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除

25的倍数

两位数以上(不包含两位数),看末两位是否是25的倍数。

125的倍数

三位数以上(不包含三位数),看后三位是否是125的倍数。

合数的倍数

其实就是质数的乘积,只要掌握了一些质数的倍数,一些合数的倍数也会掌握了。如上文提到的4、6、8、12。

任意两个奇数的平方差是8的倍数

证明设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n∈N)

(2m+1)2-(2n+1)2

=(2m+1+2n+1)*(2m-2n)

=4(m+n+1)(m-n)

当m,n都是奇数或都是偶数时,m-n是偶数,被2整除

当m,n一奇一偶时,m+n+1是偶数,被2整除

所以(m+n+1)(m-n)是2的倍数

则4(m+n+1)(m-n)一定是8的倍数

(注:0可以被2整除,所以0是一个偶数,0也可以被8整除,所以0是8的倍数。)


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