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布尔值

布尔值是True 或 False 中的一个。动作脚本也会在适当时将值 True 和 False 转换为 1 和 0。布尔值经常与动作脚本语句中通过比较控制脚本流的逻辑运算符一起使用。

在逻辑中,真值或逻辑值是指示一个陈述在什么程度上是真的。在计算机编程上多称作布尔值。

释义

在经典逻辑中,唯一可能的真值是真和假。但在其他逻辑中其他真值也是可能的: 模糊逻辑和其他形式的多值逻辑使用比简单的真和假更多的真值。

在代数上说,集合 {真,假} 形成了简单的布尔代数。可以把其他布尔代数用作多值逻辑中的真值集合,但直觉逻辑把布尔代数推广为 Heyting代数。

在 topos理论中,topos 的子对象分类器接管了真值集合的位置。

定义固定一个完全布尔代数B和一阶语言L,后者由一组常量符号、函数符号和关系符号构成。L的布尔值模型因此就由全集M,它是元素(或名字)的集合,和对这些符号的释义组成。特别是,这个模型必须为L的每个常量符号指派一个M的元素,并为L的每个n-元函数符号fn-元组 <a0,...,an-1> 中的每一个指派M的元素,这个模型必须为项f(a0,...,an-1) 指派M的元素。

关系符号和等式的释义是更加复杂的: 对M每对元素a,b,模型必须为表达式a=b指派一个真值 ||a=b|| ;这个真值取自B。类似的,对于L的每个n-元关系符号Rn-元组 <a0,...,an-1> 中的每一个指派M的元素,这个模型必须指派B的一个元素为 ||R(a0,...,an-1)|| 的真值。

需要写些文字来解释在释义等式上的额外限制,保证它是等价关系并且这个关系顾及了等价事物的代换。

其他公式可以使用布尔代数来释义;对于命题连结词这是很容易的;你可以简单的在子公式的真值上应用对应的布尔运算符。例如,如果 φ(x) 和 ψ(y,z) 分别是带有一个和两个自由变量的公式,并且是要代换xyz为模型的全集的元素abc,则

的真值简单的是

对于量化的公式,我们需要利用布尔代数B的完全性。如果 φ(x) 是带有自由变量x(可能还有其他我们忽略的自由变量),则

这里右手端要被理解为在B中所有真值 ||φ(a)|| 的上确界,这里a的范围在M之上。

一个公式的真值有时被称为它的可能性。它不能理解为一般意义上概率,它们不是实数而是完全布尔代数的B的元素。

给定一个完全布尔代数B,有一个指示为V的布尔值模型,它是冯诺伊曼全集V的布尔取值的类似者。(严格的说,V是真类,所以我们需要适当的重新解释对于模型意味着什么)。非形式的说,我们认为V是象“布尔值集合”的某种东西;换句话说,布尔值集合,不再有定义分明的元素和非元素,而有带有是这个集合的元素的特定“可能性”的对象。这个“可能性”是B的一个元素,不是实数。这不同于模糊集合的概念。

布尔值集合的(“可能的”)元素,依次也是布尔值集合,它的元素也是布尔值集合,以此类推。要得到布尔值集合的非循环定义,我们需要有层次的建造它们。所以对于V的每个序数 α 我们定义集合为:

是 β<α 的的并集,如果 α 是极限序数(包括 0)。Vα+1是从B的所有函数的集合。(这种函数表示的“可能的”子集;如果f是这种函数,则对于任何xf(x) 是x在这个集合中的可能性)。 我们定义类V是所有集合的并集。

有可能相对化这个完整构造于ZF(或者有时它的片段)的某个传递模型M。在这种情况下我们通过应用上述构造于M内部而构造布尔值模型M。对传递模型的限制是不严重的,因为Mostowski塌陷引理蕴涵了所有合理的(良基的外延)模型同构于传递模型。(如果模型M不是传递事物而使其变得更加杂乱,因为M对什么意味着是“函数”或“集合”的释义可能不同于“外延”释义)。

接着我们需要在集合V上定义两个B-值的等于关系和成员关系。(在V上的B-值关系是从V×VB的函数)。为了避免混淆于通常的等式和成员关系,对于在V中的xy,它们指示为 ||x=y|| 和 ||xy||。它们定义如下:

||xy|| 被定义为 ∑t∈Dom(y) ||x=t|| ∧y(t) ("xy中如果它等于在y中的某个东西") ||x=y|| 被定义为 ||xy||∧||yx|| ("x等于y如果xy相互都是对方的子集"),这里的 ||xy|| 被定义为 ∏t∈Dom(x)x(t)||ty|| ("xy的子集如果所有x的元素都在y中") 符号 ∑ 和 ∏ 意味着我们在完全布尔代数B中采用最小上界和最大下界。第一眼看来上述定义好象是循环的: || ∈ || 倚赖于 || = ||,它依赖于 || ||,它依赖于 || ∈ ||。但是闭合检查证实了 || ∈ || 的定义只对于更小阶的元素依赖于 || ∈ ||,所以 || ∈ || 和 || = || 是从V×VB的良好定义的函数。

最后我们需要检查在V上的这两个B-值的关系 || ∈ || 和 || = || 使V成为集合论的布尔值模型。没有自由变量的每个一阶集合论的句子都在B中有一个值,我们需要检查等式的所有公理和 ZF 集合论的所有公理(没有自由变量的)有B的元素“真”的值。这是直截了当的,但是要花很长时间因为有很多不同的公理需要检查。

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