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向量积

向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

两个向量ab的叉积写作a×b(有时也被写成ab,避免和字母x混淆)。 [1]

向量积可以被定义为:。

模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

也可以这样定义(等效):

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>

c的长度在数值上等于以ab,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。 [1]

设=(),=()。i,j,k分别是X,Y,Z轴方向的单位向量,则 [1]

a×b=(-)i+(-)j+(-)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成det

为了更好地推导,我们需要加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

i,j,k满足以下特点:

i=jxk;j=kxi;k=ixj;

kxj=i;ixk=j;jxi=k;

ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

=Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

uxv=(Yu*ZvZu*Yv)*i+(Zu*XvXu*Zv)*j+(Xu*YvYu*Xv)*k。 [1]

注:向量积≠向量的积(向量的积一般指点乘)

一定要清晰地区分开向量积(矢积)与数量积(标积)。见下表。 [1]

叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量ab共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×bc可以得到以abc为棱的平行六面体的体积。 [1]

1、反交换律:a×b=-b×a

2、加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容:(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)。

4、不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。

5、分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6、两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0。 [1]

这是一个著名的公式,而且非常有用:

(a×b)×c=bac)-abc

a×(b×c)=bac)-cab

证明过程如下:

二重向量叉乘化简公式及证明

可以简单地记成“BAC-CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形:

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是:

这是一个在四元数代数中范数乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。 [2]

给定直角坐标系的单位向量i,j,k满足下列等式:

i×j=k;

j×k=i;

k×i=j;

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

a=[a1,a2,a3]=a1i+a2j+a3k;

b=[b1,b2,b3]=b1i+b2j+b3k;

则a×b=[a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1]。

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i,j,k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1,a2,a3]表示成四元数a1i+a2j+a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参看四元数(空间旋转)。 [2]

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

双线性性:x×(ay+bz)=ax×y+bx×z;(ay+bz)×x=ay×x+bz×x;

反交换律:x×y+y×x=0;

同时与x和y垂直:x(x×y)=y(x×y)=0;

拉格朗日恒等式:|x×y|=|x||y|-(xy);

不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:x×(y×z)+y×(z×x)+z×(x×y)≠0。 [2]

在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。

求解光照的核心在于求出物体表面法线,而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。 [2]


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