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分形几何学

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数,如,零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分形几何学的研究对象为非负实数维数,如0.63、1.58、2.72、log2/log3(参见康托尔集)。因为它的研究对象普遍存在于自然界中,因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。

一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型,可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造,它们同样可以在自然界中被找到,这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。 [1]

简单的说,分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学。

是大自然复杂表面下的内在数学秩序。

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数,如,零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分形几何学的研究对象为非负实数维数,如0.63、1.58、2.72、log2/log3(参见康托尔集)。因为它的研究对象普遍存在于自然界中,因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。

一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型,可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造,它们同样可以在自然界中被找到,这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。

客观自然界中许多事物,具有自相似的“层次”结构,在理想情况下,甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小事物的几何尺寸,整个结构并不改变。不少复杂的物理现象,背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

客观事物都有它自己的特征尺度,要用恰当的尺度去测量。用尺子来测量万里长城,嫌太短,而用来测量大肠杆菌,又嫌太长。还有的事物没有特征尺度,就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度(或者叫标度),这就是“无标度性”的问题。

湍流是自然界中普遍现象,小至静室中缭绕的轻烟,巨至木星大气中的涡流,都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量,经过大、中、小、微等许多多度尺度上的漩涡,最后转化成分子尺度上的热运动,同时涉及大量不同尺度上的运动状态。要描述湍流现象就需要借助流体的的“无标度性”,而湍流中高漩涡区域,就需要用到分形几何学。 [1]

在二十世纪七十年代,法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长?这个问题依赖于测量时所使用的尺度。

如果用公里作测量单位,从几米到几十米的一些曲折会被忽略;改用米来做单位,测得的总长度会增加,但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制,取不列颠岛外缘上几个突出的点,用直线把它们连起来,得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子,使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间,存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区,长度不是海岸线的定量特征,就要用分维。

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发,始终保持面积不变,把它的“海岸线”变成无限曲线,其长度也不断增加,并趋向于无穷大。以后可以看到,分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量,即海岸线的分维均介于1到2之间。

这些自然现象,特别是物理现象和分形有着密切的关系,银河系中的若断若续的星体分布,就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型,都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究,从而产生了分形几何学。

电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑,每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊,促使数学家和科学家深入研究。

法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物,对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书,特别是《分形形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》,开创了新的数学分支分形几何学。

分形几何学的基本思想是:客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,称为自相似性。例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构不变。

维数是几何对象的一个重要特征量,它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,对于更抽象或更复杂的对象,只要每个局部可以和欧氏空间对应,也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论认为维数也可以是分数,这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度,1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

维数和测量有着密切的关系,下面我们举例说明一下分维的概念。

当我们画一根直线,如果我们用0维的点来量它,其结果为无穷大,因为直线中包含无穷多个点;如果我们用一块平面来量它,其结果是0,因为直线中不包含平面。那么,用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪?看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值,而这里直线的维数为1(大于0、小于2)。

对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线,其整体是一条无限长的线折叠而成,显然,用小直线段量,其结果是无穷大,而用平面量,其结果是0(此曲线中不包含平面),那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值,而这个维数显然大于1、小于2,那么只能是小数了,所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉,会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动),这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹,由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率,就可以发现原以为是直线段的部分,其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续,但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是2,大大高于它的拓扑维数1。

在某些电化学反应中,电极附近沉积的固态物质,以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中,粘在藻类植物上的颗粒和胶状物,不断因新的沉积而生长,成为带有许多须须毛毛的枝条状,就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈,每个枝杈继续分为细杈……,至少有十几次分支的层次,可以用分形几何学去测量。

有人研究了某些云彩边界的几何性质,发现存在从1公里到1000公里的无标度区。小于1公里的云朵,更受地形概貌影响,大于1000公里时,地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制,中间有三个数量级的无标度区,这已经足够了。分形存在于这中间区域。

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中,都实际测得了混沌吸引子,并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰惠勒说过:今后谁不熟悉分形,谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 中国著名学者周海中教授认为:分形几何不仅展示了数学之美,也揭示了世界的本质,还改变了人们理解自然奥秘的方式;可以说分形几何是真正描述大自然的几何学,对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义 [2]


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