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快乐数

快乐数(happy number)有以下的特性:在给定的进位制下,该数字所有数位(digits)的平方和,得到的新数再次求所有数位的平方和,如此重复进行,最终结果必为1。

以十进位为例:

2 8 → 2+8=68 → 6+8=100 → 1+0+0=1

3 2 → 3+2=13 → 1+3=10 → 1+0=1

3 7 → 3+7=58 → 5+8=89 → 8+9=145 → 1+4+5=42 → 4+2=20 → 2+0=4 → 4=16 → 1+6=37……

因此28和32是快乐数,而在37的计算过程中,37重覆出现,继续计算的结果只会是上述数字的循环,不会出现1,因此37不是快乐数。

不是快乐数的数称为不快乐数(unhappy number),所有不快乐数的数位平方和计算,最後都会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环中。

在十进位下,100以内的快乐数有(OEIS中的数列A00770) :1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100。

也许我们能在小于10的进位制之下发现更有趣的东西。这样数字中就不会夹着字母了。167比9的倍数大5,那么在能整除9的进制中,数字的末位是5,看上去比笨拙的7喜庆多了。(当然,这只是对我们习惯了十进制的眼睛来说的,在9进制之下5的含义和我们想象的并不一样。)在9进制中,167写作205,但是我个人更喜欢81进制中的25,它很简洁。

在不同的进位制之下研究167引出了另一个有趣的事实:167是一个严格的非回文数,也就是说它在2和165之间的任何一个进位制之下都不能被写成回文数(正着读和反着读完全一样的数字)。(我们停在165进制的原因是,它是167-2,而任何一个数字n在n-1进制之下都是回文数,看上去都是11的形式。)目前为止,我们还不知道严格非回文数的数目,不过167的下一个非回文数是179,再下一个是223。

上面列出来的这些特征,完全足以证明举办一个庆典的必要性,除此之外,167还是一个安全素数,一个非常cototient质数,一个全循环质数。我特别喜欢最后一个:这意味着存在一个166位的数字,它的每个倍数都是数字的循环排列。也就是说,当你把这个数乘上一个整数之后,得到的积恰好是原来的数的数字,排列顺序相同,但是起点不同,例如142857×2=285714。 [1]


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