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加法(数学用语)

加法是基本的四则运算之一,它是指将两个或者两个以上的数、量合起来,变成一个数、量的计算。表达加法的符号为加号“+”。进行加法时以加号将各项连接起来。

加法(通常用加号“+”表示)是算术的四个基本操作之一,其余的是减法 [1] ,乘法和除法。 例如,在下面的图片中,共有三个苹果和两个苹果的组合,共计五个苹果。 该观察结果等同于数学表达式“3 + 2 = 5”,即“3加2等于5”。

除了计算水果,也可以计算其他物理对象。 使用系统泛化,也可以在更抽象的数量上定义加法,例如整数,有理数,实数和复数以及其他抽象对象,如向量和矩阵。

在算术中,已经设计了涉及分数和负数的加法规则。

加法有几个重要的属性。 它是可交换的,这意味着顺序并不重要,它又是相互关联的,这意味着当添加两个以上的数字时,执行加法的顺序并不重要。 重复加1与计数相同; 加0不改变结果。 加法还遵循相关操作(如减法和乘法)。

加法是最简单的数字任务之一。 最基本的加法:1 + 1,可以由五个月的婴儿,甚至其他动物物种进行计算。 在小学教育中,学生被教导在十进制系统中进行数字的叠加计算,从一位的数字开始,逐步解决更难的数字计算。

加法用术语之间的加号“+”编写;结果用等号表示。 例如 [2]

还有一些情况,即使没有符号出现,

一个数字紧随其后的一个分数表示混合数。例如,

这个符号可能会引起争议,因为在大多数其他语境中,两个数字放在一起表示乘法。

一系列相关数字的总和可以通过σ符号表示,表示迭代。 例如,

在一般加法中的数字被统称为加数,结果称为总和;加法就是把这么多的加数都转移到总和中去。这与要倍增的因素区分开来。 事实上,在文艺复兴时期,很多作者根本没有考虑到第一个加号。 今天,由于加成的交换财产,“加农”很少使用,而这两个术语通常称为加数。

所有上述术语来自拉丁语。 “添加”和“添加”是从拉丁语动词addere得出的英文单词,反过来又是“原” - 欧洲根* deh3“给”的“ad”和“; 因此补充是给予。使用gerundive后缀-nd导致“addend”,“要添加的东西”。同样地,从“增加”来看,一个是“加强”,“增加的东西”。

“Sum”和“summand”来自拉丁语名词“最高,最高”和相关词汇。 因为古希腊和罗马人常常向上增加的趋势,这与现代的下降做法相反,使得一个数字高于加数。加号“+”(Unicode:U + 002B; ASCII:+)是拉丁语“et”的缩写,意为“和”。它出现在可追溯到至少1489年的数学作品中。

加法已经被用于建立了无数的物理过程。 即使添加自然数的简单情况,也有许多可能的解释和更多的视觉表现。

组合

可能最基本的加法解释在于组合:

当两个或多个不相交的集合被组合成单个集合时,单个集合中的对象数量是原始集合中对象数量的总和。

这种解释很容易可视化。 它也适用于高等数学;对于它激发的严格定义,请参见下面的自然数字。

一个可能的解决方案是考虑可以容易地分割的对象的集合,例如馅饼。杆不仅可以组成棒的集合,还可以将杆连接在一起,这又说明了加法的另一个概念:不添加棒,而是添加杆的长度。

延长一段长度

对加法的第二个解释来自于将初始长度延长给定长度:

当原始长度延长给定量时,最终长度是原始长度和延伸长度之和。

一般来说,在一个集合F上定义一个二元关系“+”,满足:

Ⅰ 交换律:对任意的 a ,b F a + b = b + aF

Ⅱ 结合律:对任意的a,b,cFa + (b +c) = (a +b) +c

Ⅲ 单位元:存在一个元素 0 ∈ F ,满足对任意的 a ∈ Fa + 0 = 0 + a = a

Ⅳ 逆元:对任意的 aF ,存在一个元素 -aF ,满足a + (-a) = 0。

“+”称作定义在集合F上的加法。

“+”是加号,加号前面和后面的数是加数,“=”是等于号,等于号后面的数是和。

100(加数) +(加号) 300(加数) =(等于号) 400(和)

加法交换律

a+b=b+a

例:8+1=1+8=9 100+2=2+100=102

加法结合律

:a+b+c=a+(b+c)

例:7+4+1=7+(4+1)=(7+4)+1=12 10-5+2=(10+2)-5=7

相关运算法则

实数

同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加。

异号两数相加,取绝对值最大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

任何数加0仍得原数。

复数

向量

是完全一致的事物也就是同类事物的重复或累计,是数字运算的开始,不同类比如一个苹果+一个橘子其结果只能等于二个水果就存在分类与归类的关系。减法是加法的逆运算;乘法是加法的特殊形式;除法是乘法的逆运算;乘方是乘法的简便形式;开方是乘方的逆运算;对数是在乘方的各项中寻找规律;由对数而发展出导数;然后是微分和积分。数字运算的发展,是更特殊的情况,更高度重复下的规律。 [3]

有许多二进制操作可以被视为对实数的加法运算的概括。 抽象代数领域集中关注这种广义的运算,它们也出现在集合理论和类别理论中。

抽象代数中的加法

矢量加法:

在线性代数中,向量空间是一个代数结构,允许添加任何两个向量和缩放向量。 一个熟悉的向量空间是所有有序的实数对的集合;有序对(a,b)被解释为从欧几里德平面中的原点到平面中的点(a,b)的向量。 通过添加它们各自的坐标来获得两个向量的和:

这种加法是经典力学的核心,其中向量被解释为力。

矩阵加法:

为相同大小的两个矩阵定义矩阵加法。 由A + B表示的两个m×n(发音为“m乘n”)的矩阵A和B的和是通过相加元素而计算的矩阵,例如:

集合理论和类别理论中的加法

增加自然数的方法是在集合理论中添加序数和基数。这些给出了两个不同的概括,即自然数。与大多数加法操作不同,序数的加法是不可交换的。 然而,增加基数是与不相交联合操作密切相关的交换操作。

在类别理论中,不相交加法被视为特殊情况,一般可能是所有加法概括中最为抽象的。 如直接总和和楔子总和,被命名为添加的联系。 [4]


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