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解析解

解析解,是指通过严格的公式所求得的解。即包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。给出解的具体函数形式,从解的表达式中就可以算出任何对应值。用来求得解析解的方法称为解析法,解析法是常见的微积分技巧,如分离变量法等。解析解为一封闭形式的函数,因此对任一独立变量,皆可将其代入解析函数求得正确的相依变量。因此,解析解也称为闭式解。 [1]

所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法。比如一元二次方程:

在数学上,如果一个方程或者方程组存在至少一个由有限次常见运算给出的解,则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中,解析解也被称为公式解。

当解析解不存在时,比如五次以及更高次的代数方程,则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。

解析解的准确含义依赖于何种运算称为常见运算或常见函数。传统上,只有初等函数被看作常见函数,无穷级数、序列的极限、连分数等都不被看作常见函数。按这种定义,许多累积分布函数无法写成解析形式。但如果我们把特殊函数,比如误差函数或伽玛函数也看作常见函数,则累积分布函数可以写成解析形式。

在计算机应用中,这些特殊函数因为大多有现成的数值法实现,它们通常被看作常见运算或常见函数。实际上,在计算机的计算过程中,多数基本函数都是用数值法计算的,所以所谓的基本函数和特殊函数对计算机而言并无区别。

数值解(numerical solution)是采用某种计算方法,如有限元的方法,数值逼近,插值的方法,得到的解。别人只能利用数值计算的结果,而不能随意给出自变量并求出计算值。

比如上面给出了一元二次方程的解析解,在求一个已知系数的一元二次方程时,将系数的具体取值代入则可以得到其数值解。

可以这样来理解二者的区别,解析解是一个求解公式,它适用于所有这类方程的求解,而数值解是某个特定方程的具体的解。

方程 2y=x

解:

y=0.5x解析解

x=1时,y=0.5数值解


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