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进制转换

进制转换是人们利用符号来计数的方法。进制转换由一组数码符号和两个基本因素“基数”与“位权”构成。

基数是指,进位计数制中所采用的数码(数制中用来表示“量”的符号)的个数。

位权是指,进位制中每一固定位置对应的单位值。

我们知道十进制转换成R进制用短除法,但是为什么用短除法呢?请往下看。

“数制”只是一套符号系统来表示指称“量”的多少。我们用“1”这个符号来表示一个这一“量”的概念。自然界的“量”是无穷的,我们不可能为每一个“量”都造一个符号,这样的系统没人记得住。所以必须用有限的符号按一定的规律进行排列组合来表示这无限的“量”。符号是有限的,这些符号按照某种规则进行排列组合的个数是无限的。十进制是10个符号的排列组合,二进制是2个符号的排列组合。

在进行进制转换时有一基本原则:转换后表达的“量”的多少不能发生改变。二进制中的111个苹果和十进制中的7个苹果是一样多的。

十进制中的数位排列是这样的…… 万 千 百 十 个 十分 百分 千分……

R进制中的数位排列是这样的……R^4 R^3R^2 R^1 R^0 R^-1 R^-2 R^-3……

可以看出相邻的数位间相差进制的一次方。

以下部分来源:知乎网友

进制这事儿,说到底就是位值原理,即:同一个数字,放在不同的数位上,代表不同大小的“量”。例如:十进制中,百位上的1表示100,十位上的1表示10。

任何进制中,每个数都可以按位权展开成各个数位上的数字乘以对应数位的位权,再相加的形式,如:
  十进制的123=1×100+2×10+3×1
  十进制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1
  问:为啥相应的数位是1000、100、10、1?为啥不是4、3、2、1?

答:十进制,满十进一,再满十再进一,因此要想进到第三位,得有10×10;第4位得有10×10×10

这样我们就知道了:

对10进制,从低位到高位,依次要乘以10^0,10^1,10^2,10^3……,也就是1、10、100、1000
  对2进制,从低位到高位,依次要乘以2^0,2^1,2^2,2^3……,也就是1、2、4、8、……
  下面我们开始转换进制(以十进制换成二进制为例):
  原来十进制咱们的数位叫 千位、百位、十位……
  现在二进制数位变成了八位、四位、二位……
  模仿上面十进制按位权展开的方式,把二进制数1011按权展开: 1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11
  接下来我们进行十进制往二进制的转换:
  比较小的数,直接通过拆分就可以转换回去
  比如13,我们把数位摆好八位、四位、二位,不能写十六了,因为一旦“十六”那个数位上的符号是“1”,那就表示有1个16,即便后面数位上的符号全部是“0”,把这个二进制数按权位展开后,在按照十进制的运算规律计算,得到的数也大于13了。那最多就只能包含“八”这个数位。 13-8=5,5当中有4,5-4=1
  好啦,我们知道13=1*8+1*4+0*2+1*1 把“1”、“1”、“0”“1”这几个符号放到数位上去:

八位、四位、二位、一位
  1 1 0 1
  于是十进制数13=二进制数1101
  现在你按照书上说的短除法来试试,会发现它和你凑数得到的结果刚好是一样的,为什么短除法可以实现进制的转换呢?为什么每次要除以进制呢?为什么要把余数倒着排列呢?
  想要知道其中的道理的话,请仔细品味以下的递归原理(不知道递归没关系):
  (1)一个十进制数321的末尾是1,意味着一定是……+1,省略号部分一定是10的倍数,所以一个十进制数末尾是1意味着十进制数除以进制10一定余1。所以第一次除以10之后的余数,应该放在十进制的最后一个数位“个位”,也就是说个位上的符号是1。

类比,一个二进制数111(注意,数值不等于上面十进制的111)末尾是1,意味着一定是……+1,前面的省略号部分都是2的倍数。所以一个二进制数末尾是1,意味着它对应的十进制数除以进制2一定余1。所以第一次除以2之后的余数,应该放在二进制的最后一个数位“一位”,也就是说一位上的符号是1。

(2)如果一个十进制数321“十位”是2,我们希望把它转换为(1)的情况。那么我们把这个十进制数的末尾抹掉,也就是减去“个位”上的1,再除以进制10,得到32。这样原来“十位”上的“2”就掉到了“个位”上。再把32做(1)的处理。

类比,如果一个二进制数111“二位”是1,我们希望把它转换为(1)的情况,那么我们把这个二进制数的末尾抹掉,也就是减去“一位”上的1,再除以进制2,得到11。这样原来“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做(1)的处理。

总结:其实这个过程就是把各个数位上的符号求出来的过程。

现在你应该可以回答以下问题了:为什么短除法可以实现进制的转换呢?为什么每次要除以进制呢?为什么要把余数倒着排列呢?

R进制转换成十进制就是按权位展开,把展开式放到十进制下,再按照“十进制”的运算规律计算。因为是十进制,所以就允许使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用写成指数,而可以用另外的八个符号来表示了。

十进制--->二进制

对于整数部分,用被除数反复除以2,除第一次外,每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。另外,所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。

对于小数部分,采用连续乘以基数2,并依次取出的整数部分,直至结果的小数部分为0为止。故该法称“乘基取整法”。

给你一个十进制,比如:6,如果将它转换成二进制数呢?

10进制数转换成二进制数,这是一个连续除以2的过程:

把要转换的数,除以2,得到商和余数,

将商继续除以2,直到商为0。最后将所有余数倒序排列,得到数就是转换结果。

听起来有些糊涂?结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。

“把要转换的数,除以2,得到商和余数”。

那么:要转换的数是6, 6 ÷ 2,得到商是3,余数是0。

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是3,还不是0,所以继续除以2。

那就: 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是1,还不是0,所以继续除以2。

那就: 1 ÷ 2, 得到商是0,余数是1

“将商继续除以2,直到商为0……最后将所有余数倒序排列”

好极!现在商已经是0。

我们三次计算依次得到余数分别是:0、1、1,将所有余数倒序排列,那就是:110了!

6转换成二进制,结果是110。

把上面的一段改成用表格来表示,则为:

被除数

计算过程

余数

6

6/2

3

0

3

3/2

1

1

1

1/2

0

1

(在计算机中,÷用 / 来表示)

二进制--->十进制

二进制数转换为十进制数

二进制数第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方……

所以,设有一个二进制数:0110 0100,转换为10进制为:

下面是竖式:

0110 0100 换算成十进制

第0位 0 * 20 = 0

第1位 0 * 21 = 0

第2位 1 * 22 = 4

第3位 0 * 23 = 0

第4位 0 * 24 = 0

第5位 1 * 25 = 32

第6位 1 * 26 = 64

第7位 0 * 27 = 0

公式:第N位2(N)

---------------------------

100

用横式计算为:

0 * 20 + 0 * 21 + 1 * 22 + 0 * 23 + 0 * 24 + 1 * 25 + 1* 26 + 0 * 27 = 100

0乘以多少都是0,所以我们也可以直接跳过值为0的位:

1 * 22 + 1 * 25 +1*26 = 100

十进制--->八进制

10进制数转换成8进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:除数由2变成8。

来看一个例子,如何将十进制数120转换成八进制数。

用表格表示:

被除数

计算过程

余数

120

120/8

15

0

15

15/8

1

7

1

1/8

0

1

120转换为8进制,结果为:170。

八进制--->十进制

八进制就是逢8进1。

八进制数采用 0~7这八数来表达一个数。

八进制数第0位的权值为8的0次方,第1位权值为8的1次方,第2位权值为8的2次方……

所以,设有一个八进制数:1507,转换为十进制为:

用竖式表示:

1507换算成十进制。

第0位 7 * 80 = 7

第1位 0 * 81 = 0

第2位 5 * 82 = 320

第3位 1 * 83 = 512

--------------------------

839

同样,我们也可以用横式直接计算:

7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839

结果是,八进制数 1507 转换成十进制数为 839

十进制--->十六进制

10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:除数由2变成16。

同样是120,转换成16进制则为:

被除数

计算过程

余数

120

120/16

7

8

7

7/16

0

7

120转换为16进制,结果为:78。

十六进制--->十进制

16进制就是逢16进1,但我们只有0~9这十个数字,所以我们用A,B,C,D,E,F这六个字母来分别表示10,11,12,13,14,15。字母不区分大小写。

十六进制数的第0位的权值为16的0次方,第1位的权值为16的1次方,第2位的权值为16的2次方……

所以,在第N(N从0开始)位上,如果是是数 X (X 大于等于0,并且X小于等于 15,即:F)表示的大小为 X * 16的N次方。

假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢?

用竖式计算:

2AF5换算成10进制:

第0位: 5 * 160 = 5

第1位: F * 161 = 240

第2位: A * 162 = 2560

第3位: 2 * 163 = 8192

-------------------------------------

10997

直接计算就是:

5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997

(别忘了,在上面的计算中,A表示10,而F表示15)

现在可以看出,所有进制换算成10进制,关键在于各自的权值不同。

假设有人问你,十进数 1234 为什么是 一千二百三十四?你尽可以给他这么一个算式:

1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100

二进制--->八进制

(11001.101)(二)

整数部分: [1] 从后往前每三位一组,缺位处用0填补,然后按十进制方法进行转化, 则有:

001=1

011=3

然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:31,那么这个31就是二进制11001的八进制形式

八进制--->二进制

(31.5)(八)

整数部分:从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数,缺位处用0补充 则有:

1---->1---->001

3---->11

然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:11001,那么这个11001就是八进制31的二进制形式

二进制--->十六进制

二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算,每个C,C++程序员都能做到看见二进制数,直接就能转换为十六进制数,反之亦然。

我们也一样,只要学完这一小节,就能做到。

首先我们来看一个二进制数:1111,它是多少呢?

你可能还要这样计算:1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

然而,由于1111才4位,所以我们必须直接记住它每一位的权值,并且是从高位往低位记,:8、4、2、1。即,最高位的权值为23 = 8,然后依次是 22 = 4,21=2, 20 = 1。

记住8421,对于任意一个4位的二进制数,我们都可以很快算出它对应的10进制值。

下面列出四位二进制数xxxx 所有可能的值(中间略过部分)

仅四位的二进制数

快速计算方法

十进制值

十六进制值

1111

8+4+2+1

15

F

1110

8+4+2+0

14

E

1101

8+4+0+1

13

D

1100

8+4+0+0

12

C

1011

8+0+2+1

11

B

1010

8+0+2+0

10

A

1001

8+0+0+1

9

9

……

0001

0+0+0+1

1

1

0000

0+0+0+0

0

0

二进制数要转换为十六进制,就是以4位一段,分别转换为十六进制。

如:

二进制数

1111 1101

1010 0101

1001 1011

对应的十六进制数

FD

A5

9B

十六进制--->二进制

反过来,当我们看到 FD时,如何迅速将它转换为二进制数呢?

先转换F:

看到F,我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这六个数),然后15如何用8421凑呢?应该是8 + 4 + 2 + 1,所以四位全为1 :1111。

接着转换 D:

看到D,知道它是13,13如何用8421凑呢?应该是:8 + 4 + 1,即:1101。

所以,FD转换为二进制数,为: 1111 1101

由于十六进制转换成二进制相当直接,所以,我们需要将一个十进制数转换成2进制数时,也可以先转换成16进制,然后再转换成2进制。

比如,十进制数 1234转换成二制数,如果要一直除以2,直接得到2进制数,需要计算较多次数。所以我们可以先除以16,得到16进制数:

被除数

计算过程

余数

1234

1234/16

77

2

77

77/16

4

13(D)

4

4/16

0

4

结果16进制为: 0x4D2

然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1101 0010。

其中对映关系为:

0100 -- 4

1101 -- D

0010 -- 2

同样,如果一个二进制数很长,我们需要将它转换成10进制数时,除了前面学过的方法是,我们还可以先将这个二进制转换成16进制,然后再转换为10进制。

下面举例一个int类型的二进制数:

01101101 11100101 10101111 00011011

我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B

再转换为10进制:6*167+D*166+E*165+5*164+A*163+F*162+1*161+B*160=1,843,769,115

十进制--->负进制

下面是将十进制数转换为负R进制的公式:

N=(dmdm-1...d1d0)-R

=dm*(-R)m+dm-1*(-R)m-1+...+d1*(-R)1+d0*(-R)0

15=1*(-2)4+0*(-2)3+0*(-2)2+1*(-2)1+1*(-2)0

=10011(-2)

负数的进制转换稍微有些不同。

先把负数写为其补码形式(在此不议),然后再根据二进制转换其它进制的方法进行。

例:要求把-9转换为八进制形式。则有:

-9的补码为1111 1111 1111 0111。从后往前三位一划,不足三位的加0

111---->7

110---->6

111---->7

111---->7

111---->7

001---->1

然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:177767,那么177767就是十进制数-9的八进制形式。

其实转化成任意进制都是一样的。

初学者最容易犯的错误!!!!!!!

犯错:(-617)D=(-1151)O=(-269)H

原因分析:如果是正数的话,上面的思路是正确的,但是由于正数和负数在原码、反码、补码转换上的差别,所以按照正数的求解思路去对负数进行求解是不对的。

正确的方法是:首先将-617用补码表示出来,然后再转换成八进制和十六进制(补码)即可。

注:二进制补码要用16位。

正确答案::(-617)D=(176627)O=(fd97)H

负数十进制转换成八进制或十六进制方法

如(-12)10=( )8=( )16

第一步:转换成二进制

1000 0000 0000 1100

第二步:补码,取反加一

注意:取反时符号位不变!

1111 1111 1111 0100

第三步:转换成八进制是三位一结合:177764(8)

转换成十六进制是四位一结合:fff4(16)

最近有些朋友提了这样的问题“0.8的十六进制是多少?”

0.8、0.6、0.2... ...一些数字在进制之间的转化过程中确实存在麻烦。

就比如“0.8的十六进制”吧!

无论怎么乘以16,它的余数总也乘不尽,总是余0.8

具体方法如下:

0.8*16=12.8

0.8*16=12.8

取每一个结果的整数部分为12既十六进制的C

如果题中要求精确到小数点后3位那结果就是0.CCC

如果题中要求精确到小数点后4位那结果就是0.CCCC

现在OK了。

注:用C语言的格式化输入输出可以快速转换10进制,8进制和16进制。例子:10进制转16进制:

Java代码实现十进制分别转换为十六,二,八进制。

核心思想就是余数定理。

public class Change { /*转为16进制*/ static void cha_16(int n)

{ if(n >= 16) cha_16(n/16);

if(n%16 < 10)System.out.print(n%16);

else System.out.print((char)(n%16 + 55)); } /*转为2进制*/

static void cha_2(int n)

{ if(n >= 2) cha_2(n/2);

System.out.print(n%2); } /*转为8进制*/

static void cha_8(int n)

{ if( n >= 8) { cha_8(n/8);

System.out.print(n%8); }

else System.out.print(n); } /*主程序入口*/

public static void main(String[] args)

{ int a=27,b=9,c=19; /*定义输入的转换数值*/ System.out.print("十进制数"+a+"=>十六进制输出:");

cha_16(a); System.out.println(); /*换行*/

System.out.print("十进制数"+b+"=>二进制输出:");

cha_2(b); System.out.println();

System.out.print("十进制数"+c+"=>八进制输出:");

cha_8(c); }}


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