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论球与圆柱

论球与圆柱,这是古希腊数学家阿基米德的力作。给出的一些数学的基本“定义”,如在端点相同的所有线(包括曲线、直线)中,以直线为最短、对于任意二正实数 a,b,必存在自然数n,使得na>b(著名的阿基米德公理),然后从这些“定义”出发,推导出全书上卷44个,下卷9个命题。本书是阿基米德的得意杰作,包括了数学域的许多重大成就.

论球与圆柱是阿基米德的得意杰作,包括许多重大成就.序言是阿基米德给多西修斯(Dositheus)的信,后者是科农的学生和朋友.阿基米德的著作,过去一向是通过科农转给亚历山大的学者的.科农去世后,改由多西修斯代办.在《抛物线图形求积法》的序言中,阿基米德已经说明了这一点:“惊悉科农去世,我十分悲痛,这不仅仅因为失去一位好友,而且失去一位令人钦佩的数学家.你是他的朋友,而且精通几何,转交论文的任务,现在请你代劳”.以后好几篇著作都是先寄给多西修斯的.

在《论球与圆柱》的序言中,首先指出本篇的主要内容和成就,接着给出6个定义.阿基米德在这里将“定义”说成“公理”.按其性质来说应该是定义,后来欧托基奥斯在注中说明这一点.

下面给5个假定,相当于公理.例如

1.在端点相同的所有线(包括曲线、直线)中,以直线为最短.

2.在以相同的平面曲线为边界的曲面中,以平面的面积为最小.

特别重要的第5个公理,这就是后来以阿基米德的名字命名的公理:如果两条线段或两个面、两个立体不相等,就可以在两者之差的上面,加上它的本身,一次一次加上去,使得每一个预先给定的同类量都被超过.在现代分析学中常用的说法是:对于任意二正实数 a,b,必存在自然数n,使得na>b.

从这些定义和公理出发,推导出上卷44个,下卷9个命题.多次使用阿基米德公理及反证法(归谬法),如要证A=B,则证明A>B及A<B均导致矛盾.

较为著名的命题有:

上卷:

命题14.正圆锥体的侧面积等于以底面半径与母线的比例中项为半径的圆的面积

命题34.球体积等于以它的大圆为底、它的半径为高的圆锥体积的4倍.推论:以球的大圆为底、球直径为高的圆柱的体积与表面积分别是球的体积与表面积的3/2.这命题在《阿基米德方法》中已提出,此处用反证法加以证明.

命题3544研究了球缺、球冠及球心角体(球扇形)的表面积及体积.

下卷:(9个命题主要讨论球缺,好几个是作图题.)

命题2给出球缺的体积.

命题4在历史上占有特殊的地位.它要求用平面将一个球截成两部分,使这两部分体积之比等于给定的比.

此问题的解相当于用几何方法去解这个3次方程.阿基米德说他将在后面给出分析与综合的解法,但现存本未见,大概已失传.后来欧托基奥斯(5世纪时)找到一些残页,是用多利安方言(阿基米德惯用的方言)写的手稿,上有这问题的解法,他认为是属于阿基米德的.

(注:1、此处的黑体字都表示一个变量,2、注意此处的l都为小写的L,i的大写因与I相似,故各处的L与i都用大写表示)

阿基米德引用了欧几里得《几何原本》Ⅻ,2的证法(穷竭法)建立了命题6:只要边数足够多,圆外切正多边形的面积C与内接正多边形的面积1之差可以任意小.不同之处是欧几里得默认了阿基米德公理,而阿基米德在本篇中是明确地作为公理提出来的.在这基础上,证明了:

命题14.正圆锥体的侧面积等于以底面半径与母线的比例中项为半径的圆的面积.

设正圆锥的底面为A,半径为r,母线为L,r与L的比例中项为 R(即R^2=rL),则此正圆锥的侧面积S=πR^2.

以R为半径作圆B,其面积为πR^2,现要证明S=B=πR^2.用反证法,设S>B.根据命题6,可作B的外切正多边形Cn(同时表示其面积,下同)与内接正边形In,使得Cn:In<S:B

又作底面A的相同边数的外切正多边形Dn,其周长记作Pn.以Dn为底,以圆锥的顶点为顶点的正棱锥的侧面积为Ln=1/2LPn

而,Dn=1/2rPn

DnCn是相似的其比等于对应线段平方之比,

由此知Cn=Ln,代入上面的不等式有Cn:In=Ln:In<S:B

这是不合理的,因为圆锥侧面积S小于其外切棱锥侧面积Ln,而圆B大于其内接多边形面积In.同理可证S<B也是不合理的,故S=B=πR^2.现在常用的形式是S=πrL.


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