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偏微分方程(数学方程)

包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。

方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数,称为该方程的阶。

在数学、物理及工程技术中应用最广泛的,是二阶偏微分方程,习惯上把这些方程称为数学物理方程。 [1]

客观世界的物理量一般是随时间和空间位置而变化的,因而可以表达为时间坐标t和空间坐标

例如在一个均匀的传热物体中,温度u就满足下面的等式:

(1)

这样一类的包含未知函数及其偏导数的等式称为偏微分方程。一般说来,如果

(2)

这里F是它的变元的函数,

由若干个偏微分方程所构成的等式组就称为偏微分方程组,其未知函数也可以是若干个。当方程的个数超过未知函数的个数时,就称这偏微分方程组为超定的;当方程的个数少于未知函数的个数时,就称为欠定的。

如果一个偏微分方程(组)关于所有的未知函数及其导数都是线性的,则称为线性偏微分方程(组)。否则,称为非线性偏微分方程(组)。在非线性偏微分方程(组)中,如果对未知函数的最高阶导数来说是线性的,那么就称为拟线性偏微分方程(组)。

设Ω是自变数空间R中一个区域,u是在这个区域上定义的具|α|阶连续导数的函数。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立,那么就称u是该方程在Ω中的一个经典意义下的解,简称为经典解。在不致误会的情况下,就称为解。

偏微分方程理论研究一个方程(组)是否有满足某些补充条件的解(解的存在性),有多少个解(解的惟一性或自由度),解的各种性质以及求解方法等等,并且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及把它用之于各门科学和工程技术。偏微分方程理论的形成和发展都与物理学和其他自然科学的发展密切相关,并彼此促进和推动。其他数学分支,如分析学、几何学、代数学、拓扑学等理论的发展也都给予偏微分方程以深刻的影响。 [2]

在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了,不少问题有多个变量的函数来描述。

比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;速度、电场的引力等,不仅在数值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量;物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量,等等。这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系,这就要用多个变量的函数来表示。

应该指出,对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示,只能是理想化的,如介质的密度,实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限,这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程,这种方程就是偏微分方程。

微积分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。

1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。

这里应该提一提法国数学家傅立叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。

这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类,围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。

近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题,它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题,这些问题通常十分复杂具有较大的难度,至今为止,一直是重要的研究课题。

对于偏微分方程问题的讨论和解决,往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。另一方面,由于电子计算机的迅速发展,使得各种方程均可数值求解,并且揭示了许多重要事实,因此,数值解法的研究,在已取得许多重要成果的基础上,将会有更快地发展。 [3]

弦振动是一种机械运动,当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma,但是弦并不是质点,所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而,如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段,每一小段抽象地看作是一个质点,这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。

弦是指又细又长的弹性物质,比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候,弦总是绷紧着具有一种张力,这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动,虽然只有其所接触的一段弦振动,但是由于张力的作用,传播到使整个弦振动起来。

用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程,属于数学物理方程中的波动方程,也就是双曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件,就是初始条件和边界条件。

对于同样的弦的弦乐器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也就不同。

天文学中也有类似弦振动的情况,如果要通过计算预言天体的运动,必须要知道这些天体的质量,同时除了牛顿定律的一般公式外,还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态,就是在某个起始时间,这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候,总会有类似的附加条件。

当然,客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”,如定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等),也有“没有边界条件的问题”。

在数学上,初始条件和边界条件叫做定解条件。

偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性,是作为解决问题的依据;定解条件却反映出具体问题的个性,它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体,就叫做定解问题。

求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解,然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说,在实际中通解是不容易求出的,用定解条件确定函数更是比较困难的。

偏微分方程的解法还可以用分离系数法,也叫做傅立叶级数;还可以用分离变数法,也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题,分离变数法可以求解无界空间的定解问题;也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程,而且初始条件也一并考虑到,解出常微分方程后进行反演就可以了。

应该指出,偏微分方程的定解虽然有以上各种解法,但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的,只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;

有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算。

还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,在数学上是拉普拉斯方程的边值问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。


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