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婆罗摩笈多定理

若圆内接四边形的对角线相互垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为M。EF⊥BC,且M在EF上。那么F是AD的中点。

推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边,以交点为顶点的三角形的外心。

若圆内接四边形的对角线相互垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称,叫做"布拉美古塔定理"(又译"卜拉美古塔定理")。

如图,运用向量证明。

∵B、F、A共线,由共线向量基本定理可知,存在唯一实数k,使EF=(1-k)EB+kEA。其中BF=kBA

又EF⊥CD

EFCD=[(1-k)EB+kEA](CE+ED)=0

展开得(1-k)EBCE+kEACE+(1-k)EBED+kEAED=0

∵EB⊥CE、EA⊥ED,即EBCE=0,EAED=0

∴kEACE+(1-k)EBED=0

即k|EA||CE|cos0+(1-k)|EB||ED|cosπ=0

kEA*EC=(1-k)EB*ED

∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)

∴k=1-k,k=1/2

BF=1/2*BA,即F是BA中点

如图,运用几何证明。

∵AC⊥BD,ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF,即F是AD中点

此外,还可以通过向量法证明。

若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。

如上图,圆内接四边形ABCD中,AC⊥BD,M是垂足。F是AD中点,则FM⊥BC。

过圆内接四边形两对角线交点做另一边的垂线,必过其对边为一边,以交点为一顶点的三角形的外心。

∵MA⊥MD,F是AD中点

∴AF=MF

∴∠CAD=∠AMF

∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME

∴∠CBD=∠CME

∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°

∴∠CBD+∠BME=90°

∴EF⊥BC

∵F是BA中点

EF=1/2*(EA+EB)

CD=CE+ED

EFCD=1/2*(EA+EB)(CE+ED)

EFCD=1/2*(EACE+EAED+EBCE+EBED)

EFCD=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0

∴EF⊥CD

1.此定理是很冷门的(被考即是因为冷门),最好提前引例证明

2.想要抓住联赛的几何题,类似的冷门定理要多掌握


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