网站地图
奇点定理

在广义相对论中, 对奇点的研究是一个重要的课题, 它既是能量条件最早的应用之一, 也是全局方法在广义相对论中初试锋芒的范例。 我们在 “能量条件简介” 的 引言 中曾经提到, 广义相对论的经典解 - 比如 史瓦兹旭尔得(Schwarzschild )解 - 存在奇异性。 这其中有的奇异性 - 比如 史瓦兹旭尔得解中的 r=2m - 可以通过坐标变换予以消除, 因而不代表物理上的奇点; 而有的奇异性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=0 - 则是真正的物理奇点。 很明显, 在奇点研究中, 真正的物理奇点才是我们感兴趣的对象。

物理上把一个存在又不存在的点称为奇点。

空间和时间具有无限曲率的一点,空间和时间在该处完结。经典广义相对论预言奇点将会发生。在具有合理物质源的广义相对论的经典理论中引力坍缩情形中的空间-时间奇性是不可避免的,在一定情形下奇点必须存在特别是宇宙必须开始于一个奇点。 但由于理论在奇点处失效,所以不能描述在奇点处会发生什么。

作为一个世界的发生之初,它应该具有所有形成现在宇宙中所有物质的势能,所以它是无形的。同时我们还可以想象,在某一点上宇宙奇点的这一势能平衡被打破,于是乎能量便不断转换为物质,而经过若干年而形成了我们现在的宇宙---物质与能量的共生体. [1]

然而我们不能想象的出的是什么东西引发了这一奇点势能平衡的被破坏.

奇点是没有大小的“几何点”,就是不实际存在的点,这是很令人难于理解的。令人难于理解的还有,没有大小的奇点物质竟然是能级无限大的物质。这些是同我们现有的理论和观念不相合的。

物理学上面的奇点,多见于描述黑洞中心的情况。此时因为物质在此点密度极高,向内吸引力极强,因此物质压缩在体积非常小的点,此时此刻的时空方程中,就会出现分母无穷小的描述,因此物理定律失效。奇点是天体物理学概念,认为宇宙刚生成时的那一状态.

引力奇点(Gravitational singularity)是大爆炸宇宙论所说到的一个“点”,即“大爆炸”的起始点。该理论认为宇宙(时间-空间)是从这一“点”的“大爆炸”后而膨胀形成的。奇点是一个密度无限大、时空曲率无限高、热量无限高、体积无限小的“点”,一切已知物理定律均在奇点失效。

我们熟知的物理学定律失效的地点。奇点一般被看成点,但原则上它们可以取一维的线或甚至二维的膜的形式。按照广义相对论的方程式,只要形成了一个无自转的史瓦西黑洞,该黑洞事件视界内部的物质必然在引力作用下塌陷成一个密度无穷大的点,即奇点(罗杰彭罗斯)。宇宙从大爆炸开始的均匀膨胀就是这种黑洞坍缩的镜像反转,意味着宇宙诞生在一个奇点中。

在以上两种情况下,方程式都没有考虑量子理论。当我们处理的物体小于普朗克长度,或时间短于普朗克时间时,已知的物理学定律,包括广义相对论,看来真会失效。这意味着,在那样的尺度上,合情合理的设想将是,向奇点坍缩的物质受到量子过程的影响,有可能‘反弹’而转为向外膨胀到另一组维度中去。有人主张,大爆炸‘奇点’实际上就是这样一种反弹。

加州理工学院的理论物理学教授基普桑尼把量子奇点说成是引力将空间和时间彼此‘分离’的地方,然后再将时间概念和空间明确性一一破坏,留下来的是一个任何东西都可能从中出现的‘量子泡沫’(《黑洞和时间翘曲》)。奇点尤其是与自转黑洞和裸奇点(如果存在的话)相关联的奇点甚至可能容许实现时间旅行。

确切地讲, 奇点定理的证明是要通过这对彼此矛盾的结果来论证以下五个条件不可能同时成立:
  时空是测地完备的。
  强能量条件成立。
  一般性条件成立。
  时空满足时序条件。
  时空中存在一个非时序点集 S, 使得 E+(S) 与 E-(S) 紧致。
  限于篇幅, 我们只能简单叙述一下论证的思路。 在上述五个条件中, 1~3 是 第三节 所介绍的证明奇点定理的第一步所用的条件, 由此推知的是每条非类空测地线上都存在共轭对。 1 和 4 所推知的 - 如上文所述 - 是时空满足强因果条件。 而由强因果条件与 5 则可以证明这样一个结果: 时空中存在一个包含一条未来不可延拓类时曲线 γ 及一条过去不可延拓类时曲线 λ 的全局双曲区域 M。 利用这一结果就可以证明时空中存在一条没有共轭对的非类空测地线。 具体的做法是: 在 λ 上取一个沿过去方向趋于无穷的点集 an, 同时在 γ 上取一个沿未来方向趋于无穷的点集 bn (选取时使得 b1 在 a1 的类时未来, 从而保证所有 bn 都在 an 的类时未来)。 由于 M 是全局双曲的, 因此 - 如上文所述 - 在每一对 an 和 bn 之间都存在一条 (长度最大的) 非类空测地线 μn, 其上在 an 和 bn 之间不存在 an 的共轭点。 可以证明, M 中的这一由非类空测地线 μn 组成的无穷集合必定存在一个 “聚点” μ, 它是一条非类空测地线, 并且其上不存在任何共轭对。 这样, 我们就得到了与第一步所得的 “每条非类空测地线上都存在共轭对” 相矛盾的结论, 从而证明了上述五个条件不可能同时成立。
  既然上述五个条件不可能同时成立, 那么我们就可以用其中四个条件为前提 (即假定这四个条件成立), 来推翻剩下的那个条件[注二]。 Hawking 与 Penrose 所做的是以 2~5 为前提, 来推翻 1, 即证明时空不是测地完备的。 按照我们在 第一节 所作的定义, 这表明时空中存在奇点。 这就是 Hawking 与 Penrose 的奇点定理。
  在被奇点定理采用为前提的 2~5 中, 2~4 都有明确的物理意义, 唯独 5 - 即时空中存在一个非时序点集 S, 使得 E+(S) 与 E-(S) 紧致 - 显得很抽象。 幸运的是, 我们可以用一些物理意义更为明确的条件来取代这一抽象的数学条件。 在上文中我们介绍过, 如果强能量条件成立, 则对于任何封闭陷获面 S, E+(S) 与 E-(S) 紧致。 由于强能量条件已经包含在 2~4 中了, 因此我们可以用 “时空中存在封闭陷获面” 来取代 5, 这个条件在物理上可以由足够致密的星体来满足。 除此之外, Hawking 与 Penrose 还提出了另外两个条件来取代 5: 一个是 “时空中存在紧致无边的非时序点集”[注三], 这个条件在物理上可以由空间上有限无边的宇宙来满足; 另一个是 “时空中存在一个点, 通过该点的所有未来 (或过去) 方向的类光测地线束的膨胀标量 θ 最终将变为负值”, 这个条件在物理上可以由局部膨胀或收缩的宇宙来满足。 这三个都是原则上可以检验, 并且很可能在我们的宇宙中已经得到满足的条件。至此, 我们可以对 Hawking 与 Penrose 所证明的奇点定理做一个完整的表述:
  Hawking-Penrose 奇点定理: 一个时空若满足以下条件, 就必定是非类空测地不完备的 (即存在奇点):
  1. 强能量条件成立。
  2. 一般性条件成立。
  3. 满足时序条件。
  4. 以下三个条件之一成立:
  a. 存在封闭陷获面。
  b. 存在紧致无边非时序点集。
  c. 存在一个点, 通过该点的所有未来 (或过去) 方向的类光测地线束的膨胀标量 θ 最终将变为负值。

这个定理是 Hawking 与 Penrose 于 1970 年提出并证明的。 如我们在上文中所说, 这并不是最早的奇点定理。 Penrose 于 1965 年, Geroch 于 1966 年, Hawking 于 1967 年等都提出过奇点定理。 比较之下, Hawking-Penrose 奇点定理所要求的条件在物理上最容易实现, 并且涵盖面也广, 因此人们提到奇点定理的时侯通常指的就是这一定理[注四]。 Hawking-Penrose 奇点定理不依赖于对称性, 它对于确立广义相对论中奇点的存在性及普遍性来说是非常强有力的, 同时它也是对我们在 能量条件简介的引言 中所介绍的奇点产生原因之争的判决性结论。 但 Hawking-Penrose 奇点定理也有一个显而易见的缺点, 那就是它既无法告诉我们究竟哪一条非类空测地线是不完备的, 也无法提供有关奇点具体性质的信息。 这一缺点为后人加强奇点定理的结论部分留下了空间。 不过要想加强奇点定理的结论部分, 往往不可避免地要对前提部分也予以加强, 从而有损定理的普遍性。
  在 Hawking-Penrose 奇点定理的四个前提中, 前提 4 属于初始及边界条件, 并且实现的可能性极大。 事实上, 早在 Hawking-Penrose 奇点定理提出的年代, 天文观测及理论研究就已经在很大程度上显示出这个前提的三个子条件很可能部分甚至全部得到满足。 前提 1 和 2 与人们在宏观世界的观测经验相符, 因为迄今所知的所有宏观物质的能量动量张量都满足强能量条件, 而现实宇宙中物质 (包括宇宙微波背景辐射) 及引力波的分布无疑遍及全空间, 从而满足一般性条件, 因此在以大尺度宏观世界为主要描述对象的广义相对论中, 这两个前提被认为是适用的。 前提 3 所要求的不存在闭合类时曲线也具有不错的经验基础, 因为时间的单向性是宏观世界中最基本的经验事实之一。 因此所有这四个前提都有其可信赖之处, 但如果一定要在这些前提中找出一个最有可能在现实物理世界中不成立的, 那么 - 如我们将在后文中看到的 - 能量条件 (即前提 1) 将是首选, 因为理论与观测都表明它事实上就不成立。 不过, 能量条件的破坏主要来自量子效应, 而我们所讨论的奇点定理是经典广义相对论中的命题, 两者在所涉范围上有出入。 如果我们不考虑量子效应, 或者说只考虑经典广义相对论, 又有哪一个前提最值得怀疑呢? 一般认为是时序条件 (即前提 3)。 这一条件要求不存在闭合类时曲线。 它之所以值得怀疑, 主要有两个原因: 一是因为广义相对论的某些特殊解事实上允许闭合类时曲线存在 (参阅 时间旅行: 科学还是幻想?), 虽然迄今为止那些解还没有一个得到过任何观测上的支持; 二是由于闭合类时曲线实际上是一种抽象的时间机器, 这是一种在很多方面都很引人入胜的东西。 因此有些物理学家把广义相对论没有在原理层面上禁止闭合类时曲线, 视为是一个很值得探索的理论问题。
  如果时序条件有可能被破坏, 那就产生了一个很自然的问题: 即我们是否可以通过作一个与 Hawking-Penrose 奇点定理不同的选择, 把测地完备性作为定理的前提之一, 而把时序条件的破坏 (从而允许时空中存在闭合类时曲线) 作为定理的结论呢[注六]? 对这种可能性物理学家们也进行过一些研究。 1977 年, 美国图兰大学 (Tulane University) 的物理学家 F. Tipler 研究了渐近平直时空中有限大小的闭合类时曲线, 结果发现在强能量条件与一般性条件等条件成立的情况下, 这样的曲线在测地完备时空中是不可能出现的[注七]。 其他一些物理学家后来也做了这方面的研究和推广, 包括使用更弱的条件, 以及推广时序破坏的定义等, 得到的结果都类似。 这些结果成为后来 Hawking 提出所谓时序保护假设 (chronology protection conjecture) 的基础之一。 这些结果表明, 时序条件的破坏在很大程度上本身就意味着测地完备性的破坏, 因而放弃时序条件并不能挽回测地完备性[注八]。 这一结果在一定程度上加强了奇点的不可避免性[注九], 也进一步支持了 Hawking-Penrose 奇点定理的合理性 - 当然, 所有这一切都限于经典广义相对论的范围。 [1]


相关文章推荐:
奇点 | 曲率 | 广义相对论 | 广义相对论 | 宇宙奇点 | 无穷小 | 天体物理学 | 引力奇点 | singularity | 大爆炸宇宙论 | 时空曲率 | 史瓦西 | 黑洞 | 事件视界 | 无穷大 | 罗杰彭罗斯 | 镜像 | 量子理论 | 普朗克长度 | 就是这样 | 加州理工学院 | 理论物理学 | 基普 | 裸奇点 | 时间旅行 | 非时序 | 时曲 | 侯通 | 天文 | 现实宇宙 | 宇宙 | 闭合类时曲线 | 广义相对论 | 平直时空 |
相关词汇词典