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三角形数

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数。古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1,3,6,10,15,21……这些数量的(石子),都可以排成三角形,像这样的数称为三角形数。把1.4.9.16.…这样的数称为正方形数。 [1]

它有一定的规律性,排列如下(构成图),像上面的1、3、6、10、15等等这些能够表示成三角形的形状的总数量的数,叫做三角形数。

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形,因此10是一个三角形数:

x

x x

x x x

x x x x

x x x x x

开始个18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……(OEIS中的数列A000217)

第n个三角形数的公式是

第n个三角形数是开始的n个自然数的和。

所有大于3的三角形数都不是质数。

开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 =102

所有三角形数的倒数之和是2。

任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。

一部分三角形数(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:n × (2n + 1);而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用n × (2n - 1)来表示。

一种检验正整数x是否三角形数的方法,是计算:

如果n是整数,那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数,那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式8Tn + 1 = S2n + 1.

特殊的三角形数

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。

第11个三角形数(66)、第1111个三角形数(617,716)、第111,111个三角形数(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形数(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形数,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。

和其他数的关系

四面体数是三角形数在立体的推广。

两个相继的三角形数之和是平方数。

三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。

三角形数属於一种多边形数。

所有偶完美数都是三角形数。

任何自然数是最多三个三角形数的和。高斯发现了这个规律。他在1796年7月10日在日记中写道:EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

o n=1 s=1

o o n=2 s=3

o o o n=3 s=6

o o o o n=4 s=10

o o o o o n=5 s=15

……

根据自然数列的求和公式,对于第n项的三角形数,可以得到其计算公式为:

1)前n个三角形数的和:T(n)=s(1)+s(2)+…+s(n)

得到:

2)判断一个数是否为三角形数:对任给一个正整数K,则若为三角形数,有:

从而:

具体:你注意到了吗,商店橱窗里的罐头盒一般都是这样排列的。它们按照一定的规律排成了三角形。想一想:能不能把9个圆点按上面的规律排成一个三角形?9是不是三角形数?再想一想:能不能把25个圆点按上面的规律排成一个三角形?25是不是三角形数?为了能方便地看出规律,我们把三角形数改排成图。观察这些三角形数,你发现它们有什么规律吗?原来三角形数是从l开始的连续自然数的和。l是第一个三角形数,3是第二个三角形数,6是第三个三角形数,10是第四个三角形数,15是第五个三角形数……那么,第七个三角形数就是:1+2+3+4+5+6+7=28;第九个三角形数就是:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;第十个三角形数就是:1+2+3+…+10=55;第100个三角形数就是:1+2+3+…+100=5050。

1.55、5050、500500、50005000……都是三角形数。

2.第11个三角形数(66)、第1111个三角形数(617716)、第111111个三角形数(6172882716)、第11111111个三角形数(61728399382716)都是回文式的三角形数,但第111个、第11111个和第1111111个三角形数不是。

3.三角形数还有一个规律,就是:如果将所有边形的数都整整齐齐地由左到右画在表格里,你就会发现,每一列的数间隔都一样,而且均为前一列的三角形数,例如:

三角形数

1

3

6

10

15

21

28

36

正方形数

1

4

9

16

25

36

49

64

五边形数

1

5

12

22

35

51

70

92

六边形数

1

6

15

28

45

66

91

120

4.比如10个点可以组成一个等边三角形,因此10是一个三角形数:

一开始的18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253……

一个三角数乘以九再加一仍是一个三角数。

三角数的个位数字不可能是2、4、7、9,数字根不可能是2、4、5、7、8。

三角数的二倍的平方根取整,是这个三角数的序数。

第n个三角形数的公式是

第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和。

所有大于3的三角形数都不是质数。

开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10)。

所有三角形数的倒数之和是2。

任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。

一部分三角形数(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:{\displaystyle n*(2n+1)};而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用{\displaystyle n*(2n-1)}来表示。

一种检验正整数x是否三角形数的方法,是计算:

如果n是整数,那么x就是第n三角形数。如果n不是整数,那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式

是否在相继出现的三角形数之间至少存在一个素数,在9000000以下的数目是正确的。

四面体数是三角形数在立体的推广。

两个相继的三角形数之和是平方数。

三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。

三角形数属于一种多边形数。

所有偶完美数都是三角形数。

任何自然数是最多三个三角形数的和。高斯发现了这个规律,他在1796年7月10日在日记中写道:EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ。


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