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十进制

600,3/5,-7.99……看着这些耳熟能详的数字,你有没有想太多呢?其实这都是全世界通用的十进制,即1.满十进一,满二十进二,以此类推……2.按权展开,第一位权为10^0,第二位10^1……以此类推,第N位10^(N-1),该数的数值等于每位位的数值*该位对应的权值之和。

人类算数采用十进制,可能跟人类有十根手指有关。亚里士多德称人类普遍使用十进制,只不过是绝大多数人生来就有10根手指这样一个解剖学事实的结果。实际上,在古代世界独立开发的有文字的记数体系中,除了巴比伦文明的楔形数字为60进制,玛雅数字为20进制外,几乎全部为十进制。只不过,这些十进制记数体系并不是按位的。

首先,现在人们日常生活中所不可或离的十进位值制,就是中国的一大发明。至迟在商代时,中国已采用了十进位值制。从现已发现的商代陶文和甲骨文中,可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个数字,记十万以内的任何自然数。这些记数文字的形状,在后世虽有所变化而成为现在的写法,但记数方法却从没有中断,一直被沿袭,并日趋完善。十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法,对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。正如李约瑟所说的:“如果没有这种十进位制,就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

大地湾仰韶晚期房F901中曾出土一组陶质量具,主要有泥质槽状条形盘、夹细砂长柄麻花耳铲形抄、泥质单环耳箕形抄、泥质带盖四把深腹罐等。其中条形盘的容积约为264.3立方厘米;铲形抄的自然盛谷物容积约为2650.7立方厘米;箕形抄的自然盛谷物容积约为5288.4立方厘米;四把深腹罐的容积约为26082.1立方厘米。由此可以看出,除箕形抄是铲形抄的二倍外,其余三件的关系都是以十倍的递增之数。这些度量衡具的发现也为研究我国古代十进制的起源等,提供了非常珍贵的实物资料。

古巴比仑的记数法虽有位值制的意义,但它采用的是六十进位的,计算非常繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号,从一百到一千万有四个数字符号,而且这些符号都是象形的,如用一只鸟表示十万。古希腊由于几何发达,因而轻视计算,记数方法落后,是用全部希腊字母来表示一到一万的数字,字母不够就用加符号“‘”等的方法来补充。古罗马采用的是累积法,如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示,又有用累积法,到公元七世纪时方采用十进位值制,很可能受到中国的影响。现通用的印度阿拉伯数码和记数法,大约在十世纪时才传到欧洲。

在计算数学方面,中国大约在商周时期已经有了四则运算,到春秋战国时期整数和分数的四则运算已相当完备。其中,出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”,堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶,这是任何其它记数法和语言文字所无法产生的。从此,“九九歌”成为数学的普及和发展最基本的基础之一,一直延续至今。其变化只是古代的“九九歌”从“九九八十一”开始,到“二二如四”止,而现在是由“一一如一”到“九九八十一”。

有学者认为,北京周口店的一万多年前的山顶洞人遗址出土的骨管,以一个圆点代表1,两个圆点并列代表2,三个圆点并列代表3,五个圆点上二下三排列代表5,长圆形可能代表十。中国著名数学史家,国际科学史研究院通讯院士李迪教授认为山顶洞人骨管符号是“一种十进制思想”。

另有学者对中国青海乐都县柳湾出土一千多枚新石器时代骨片进行研究,发现它们分属马厂、半山、齐家和辛店四个中文化型。骨片长度为2-2.4厘米,厚约1毫米。骨片上有刻痕,少的一个,多不超过八个,每个骨片上的刻痕数目不超过十个,他们以此认为新石器时代已有加法运算和十进制。

另有学者认为,甲骨文中一横代表1,两横相叠代表二,三横代表三,四横代表四,X 代表五,“人”形代表六,“十”代表七,“)(”代表八, “九”已经是九;| 代表十,||代表20,|||代表三十,||||代表四十;此外50,60,70,80,90,100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000,2000,……9000,10000……40000 都有不同的符号。商代甲骨文“已形成完整的十进制系统”。

北京的中国历史博物馆藏有一把安阳殷墟出土的象牙尺,长15.78厘米,分为十寸,说明中国商代的十进制几经用在长度上了。

中国周代金文的纪数法,继承商代的十进制, 又有明显的进步,十进数量级符号有十、百、千、万、亿,如西周金文“伐鬼方……俘万三千八十一人”,“武王遂征四方,俘人三亿万有二百三十”,出现了位值记数,例如 “俘牛三百五十五“,其中三百五十五写成“三全XX”,前面的“全”是金文的“百”,后面两个XX是五十五,省去了“十”,出现了位置概念,但尚未形成完整的位值制。金文商鞅量铭还出现分数。

春秋战国时代,出现严格的十进位制筹算记数,以空代表0,也发明了用于十进位制乘法、除法的九九表<

公元前3400年左右,古埃及有基于十进制的记数法。但这种十进制并无位值的概念。

吠陀时代前800年的印度仪轨经类文献中的绳法经中包含大量分数的应用,但并无证据显示此时的文字记数系统是十进制的。 [1]

公元前500年,希腊古典时期的阿提卡数字为十进制系统。

公元前300年,印度的婆罗迷数字为十进制。婆罗迷十进制毫无位值概念。

出土于巴基斯坦的古印度巴克沙利手稿可能是世界上最早的包括0的“真正的”十进制系统,但它的具体时间有争议。

《卜辞》中记载说,商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字,但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中还有奇数、偶数和倍数的概念。

我们有个成语叫"屈指可数",说明古代人数数确实是离不开手指的,而一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制(这一进位制到现在仍留有痕迹,如一分=60秒等)另外还有采用二十进位制的。古代埃及倒是很早就用10进位制,但他们却不知道位值制。所谓位值制就是一个数码表示什么数,要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法,且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则,比如一百二十七。同时我们对0的认识最早。

十进制是中国人民的一项杰出创造,在世界数学史上有重要意义。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价,"如果没有这种十进制,就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了",李约瑟说:"总的说来,商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。"

10^0(十的零次方) 一

10^1 十

10^2 百

10^3 千

10^4 万

10^5 十万

10^6 百万(兆[2])

10^7 千万

10^8 亿

10^9 十亿(吉)

10^10 百亿

10^11 千亿

10^12 兆(万亿、太[2])

10^13 十兆

10^14 百兆

10^15 千兆(拍)

10^16 京

10^17 十京

10^18 百京(艾)

10^19 千京

10^20 垓

10^21 十垓(泽)

10^22 百垓

10^23 千垓

10^24 秭(尧)

10^25 十秭

10^26 百秭

10^27 千秭

10^28 穰

10^29 十穰

10^30 百穰

10^31 千穰

10^32 沟

10^33 十沟

10^34 百沟

10^35 千沟

10^36 涧

10^37 十涧

10^38 百涧

10^39 千涧

10^40 正

10^41 十正

10^42 百正

10^43 千正

10^44 载

10^45 十载

10^46 百载

10^47 千载

10^48 极

10^49 十极

10^50 百极

10^51 千极

10^52 恒河沙

10^53 十恒河沙

10^54 百恒河沙

10^55 千恒河沙

10^56 阿僧

10^57 十阿僧

10^58 百阿僧

10^59 千阿僧

10^60 那由他

10^61 十那由他

10^62 百那由他

10^63 千那由他

10^64 不可思议

10^65 十不可思议

10^66 百不可思议

10^67 千不可思议

10^68 无量

10^69 十无量

10^70 百无量

10^71 千无量

10^72大数

10^73 十大数

10^74 百大数

10^75 千大数

10^76 全仕祥

10^77 十全仕祥

10^78 百全仕祥

10^79 千全仕祥

10^80万全仕祥

10^81

...... ......

10^100古戈尔(goo-gol)

...... ......

10^10100 古戈尔普勒克斯(goo-golplex)

十退制汉字对照表

100

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9 尘(奈、纳[2])

10-10

10-11

10-12 漠(皮)

10-13 模糊

10-14 逡巡

10-15 须臾(飞)

10-16 瞬息

10-17 弹指

10-18 刹那(阿)

10-19 六德

10-20 空虚

10-21 清静(仄)

10-22阿赖耶

10-23 阿摩罗

10-24 涅盘寂静(攸)

注:

厘亦作。

毫亦作毛。

漠是正确写法,而莫并非正确写法。

比漠微细的,是自天竺的佛经上的数字。而这些「佛经数字」已成为「古代用法」了。

巴比伦60进位制以一个上大下小的楔形代表1,两个并列楔形代表2,三个并列楔形代表3,上二个楔形下二个楔形代表4,上三楔下二楔代表5,上三楔下三楔代表6,上四楔下三楔代表7,上四楔下四楔代表8,上五楔下四楔代表9;一个左小右大横楔代10,两个横楔并排代表20,三个横楔并排代表30,四个横楔并排代表40。

玛雅20进位制以一个点代表1,两个点并列代表2,三点并列代表3,四点并列代表4,短横线代表5,横线上加一点代表6,横线上加二点代表7,横线上加三点代表8,横线上加四点代表9;上下两横线代表10,上下两横线之上加一点代表11,三重叠横线代表15,三横线上加一,二,三点代表16,17,18;小椭圆圈上加一点代表20。

古埃及十进制以一个竖道代表1,二并排竖道代表2,三竖道代表3,一横道代表4,左二撇右竖道代表5,上三撇下三撇代表6,上下两道代表8,四个(并排代表9,一个“人”字形代表10,“人”上加一横代表20,20左加一点代表30,横道上加一点代表40,横道上加三竖道(如中国筹算的8)代表60,横道上加四竖道代表80(形同中国筹算中的9)代表80,两横道上加三竖代表90……。

希腊十进制,1至9,10至90,100至900各有不同的单字母代表。

古印度Kharosshi十进制,以一个竖道代表1,二并排竖道代表2,三竖道代表3,一个X代表4,IX代表5,||X代表6,XX代表8,10,20个有单字符代表。

古印度和Brahmi十进制,和希腊十进制相似,1至9,10至90,100至900各有不同的单字母代表。符号很多。

据某些学者考证,中国古代的十进制有书写式和算筹两种型式。

中国十进制度量衡有久远的历史。公元前6世纪的一把周朝尺刻有十分之一的寸和百分之一的分。

王莽官定一百副青铜容量标准,一斛=十斗,一斗=十升,一升=10合。

传统度量衡不是完全使用十进制,例如1斤等于16两、1等于12等。公制完全使用十进制,使换算较直接。中华民国政府于1920年代推行市制以与公制接轨。1980年代香港政府便曾大力宣传十进制的好处,当时有口号如“采用十进制,公道又易计”或“十进制,好易计”等,但民间至今仍常用旧制、英制等非十进制换算。 [2]

十进制,英文名称为Decimal System,来源于希腊文Decem,意为十。十进制计数是由印度教教徒在1500年前发明的,有阿拉伯人传承至11世纪。

十进制基于位进制和十进位两条原则,即所有的数字都用10个基本的符号表示,满十进一,同时同一个符号在不同位置上所表示的数值不同,符号的位置非常重要。基本符号是0到9十个数字。要表示这十个数的10倍,就将这些数字左移一位,用0补上空位,即10,20,30,...,90;要表示这十个数的10倍,就继续左移数字的位置,即100,200,300,...。要表示一个数的1/10,就右移这个数的位置,需要时就0补上空位:1/10位0.1,1/100为0.01,1/1000为0.001。--摘自《统计学》附录3 数学基础知识P205-6 [英]提姆.汉拿根 2008.1

另外同人游戏《东方红魔乡》一面BOSS露米娅的绰号为“十进制”,出处为魔理沙线的对话:“为什么总是伸直手臂?”“像不像耶稣被钉在十字架上?”“像是人类采用了十进制”

十进制计数法是相对二进制计数法而言的,是我们日常使用最多的计数方法(俗称“逢十进一”),它的定义是:“每相邻的两个计数单位之间的进率都为十”的计数法则,就叫做“十进制计数法”。

所周知,计算机内部使用二进制表示数,二进制与十进制的转换是比较复杂的。比如我们要让计算机计算50+50=?,那么首先要把十进制的50转换成二进制的“50”110010,这个过程要做多次除法,而计算机对于除法的计算是最慢的。把十进制的50转换成二进制的110010还不算完,计算出结果1100100之后还要再转换成十进制数100,这是一个做乘法的过程,对计算机来说虽然比除法简单,但计算速度也不快。本来一步完成的事,却白白浪费了好多步骤,究其原因,就是人们使用的十进制不适应现代化信息设备,不是最佳信息计数法。如果人们使用二进制来表示数,不仅与计算机的交流变得简便,而且只需要记得怎样写0和1就能够记数了,比用十进制需要学习十个数字简单了80%。这还不是全部,举个例子来说,比如十进制的小数0.8,在二进制里怎样表示呢?要写成0.11001100...后面还有无数个1100,或者换句话说,十进制的有限小数转换成二进制不能保证能精确转换,二进制小数转换成十进制也遇到同样的问题。这也为信息处理带来了很大的不便。甚至为了能够较快的转换十进制数和二进制数,在设计处理器的时候加入了专门的电路和语句来完成这个过程,造成了处理器设计的浪费。因此,可以说十进制不适应现代化信息设备。

二进制数转换

二进制数转换成十进制数

由二进制数转换成十进制数的基本做法是,把二进制数首先写成加权系数展开式,然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。 例1105 把二进制数110.11转换成十进制数。

十进制数转换为二进制数

十进制数转换为二进制数时,由于整数和小数的转换方法不同,所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后,再加以合并。

1. 十进制整数转换为二进制整数 十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余,逆序排列"法。具体做法是:用2去除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此进行,直到商为零时为止,然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来。

2.十进制小数转换为二进制小数

十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整,顺序排列"法。具体做法是:用2乘十进制小数,可以得到积,将积的整数部分取出,再用2乘余下的小数部分,又得到一个积,再将积的整数部分取出,如此进行,直到积中的小数部分为零,或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来,先取的整数作为二进制小数的高位有效位,后取的整数作为低位有效位。 [3]


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