网站地图
实数集

实数集通俗地认为,通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集,通常用大写字母R表示。18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。任何一个非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。

通俗地认为,通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集,通常用大写字母R表示。

18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的:

1.1.对于任意属于集合R的元素ab,可以定义它们的加法a+b,且a+b属于R

1.2.加法有恒元0,且a+0=0+a=a(从而存在相反数);

1.3.加法有交换律,a+b=b+a

1.4.加法有结合律,(a+b)+c=a+(b+c)。

2.1对于任意属于集合R的元素ab,可以定义它们的乘法ab,且ab属于R

2.2乘法有恒元1,且a1=1a=a(从而除0外存在倒数);

2.3乘法有交换律,ab=ba

2.4乘法有结合律,(ab)c=a(bc);

2.5乘法对加法有分配率,即a(b+c)=(b+c)a=ab+ac

3.1xyRx<yx=yx>y中有且只有一个成立;

3.2若x<yzRx+z<y+z

3.3若x<yz>0,则xz<yz

3.4传递性:若x<yy<z,则x<z

(1)任何一个非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。

(2)设AB是两个包含于R的集合,且对任何x属于Ay属于B,都有x<y,那么必存在c属于R,使得对任何x属于Ay属于B,都有x<c<y

符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集,实数集的元素称为实数


相关文章推荐:
无理数 | 实数 | 微积分学 | 上界 | 上确界 | 无理数 | 实数 | 相反数 | 加法 | 交换律 | 结合律 | 集合 | 乘法 | 交换律 | 结合律 | 加法 | 分配率 | 上界 | 上确界 | 公理 | 元素 | 实数 |
相关词汇词典