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数学方法论选讲

《数学方法论选讲》是2000年华中科技大学出版社出版的图书,作者是徐利治。本书可作为理工科大学高年级学生和研究生的选修课教材,也可供数学工作者,哲学工作者以及教师们参考。

数学方法论选讲用十来个典型的专题,对数学的发展规律和思想方法,进行了认真的研究和讨论。书中着重介绍了数学模型方法、公理化方法、映射反演原则、结构主义和伽罗瓦群的思想;分析了悖论与数学基础问题的关系以及对数学发展的影响;探讨了逻辑主义、直觉主义、形式主义等数学诸流派的观点、方法以及它们的成因;叙述了数学家在数学研究中的发现、发明与创新过程的心智状态。本书用辩证的观点,总结了历史上著名数学家希尔伯特等人的成长条件和成功的经验。 [1]

徐利治,一级教授,1920年9月出生于江苏张家港。1945年毕业于西南联合大学。1949年获英国文化委员会资助赴英深造。1952年回国后历任清华大学副教授、吉林大学教授、大连理工大学数学研究所所长、华中理工大学数学系主任等职。1998年前为我国培养出16们博士。又曾应聘为美国Texas AM大学客座教授、Nevada大学研究教授、加拿大Manitoba大学客座教授。所著《数学分析方法及例题选讲》获国家优秀教材奖;分析数学成果获1993年加拿大国家科技委员会(NSERC-Canada)授予的国际科学交流奖。1998年前在内外发表数学论文200余篇。。1948年发表的“高维渐近积分定理”以及60年代中期与美国数学家H.W.Gould合作发现的互反公式,迄今常被国际数学界同行引用并介绍。

第1讲 数学方法论引论

1 研究数学方法论的意义和目的

2 宏观的方法论与微观的方法论

3 略论希尔伯特成功的社会因素

4 浅谈微观的数学方法论

第2讲 略论数学模型方法

1 数学模型的意义

2 数学模型的类别及简单例子

3 MM的构造过程及特点

4 怎样培训构造MM的能力

第3讲 关系映射反演原则的应用

1 何谓“关系映射反演原则”?

2 数学中的RMI原则

3 若干较简单的例子

4 几个较难一点的例子

5 用RMI原则分析“不可能性命题”

6 关于RMI原则的补充说明

第4讲 略论数学分理化方法

1 公理化方法的意义和作用

2 公理化方法发展简史

3 公理化方法的基本内容

4 重要例子几何学公理化方法

5 关于公理系统的相容性问题

6 略谈自然科学中的公理化方法

第5讲 关于数学的结构主义

1 结构主义学派的形成过程

2 布巴基学派的一般观点

3 数学结构的分类

4 数直线结构分析

5 略变拓扑结构

6 略谈同构概念

7 略评结构主义

第6讲 代数方程根式解法与伽罗瓦的群论思想方法

1 代数基本定理与根式解法研究简史

2 拉格朗日的思想方法与阿贝尔定理

3 伽罗瓦的思想方法

4 方程式可解性理论简介

第7讲 关于非标准数域与非康托型自然数模型的构造方法

1 略论“无限”概念蕴含的矛盾

2 非标准数域的构造方法

3 非康托型自然数序列模型的构造法

4 关于一个引伸的芝诺悖论的解释

5 略论无限的两种形态

第8讲 悖论与数学基础问题

1 悖论的定义和起源

2 悖论的举例和数学三次危机

3 策莫洛对悖论的解决方案

4 罗素对悖论的解决方案

5 塔斯基及其语义学

6 哥德尔的不完备性定理与悖论

7 悖论的成因与研究悖论的重要意义

第9讲 论数学基础诸流派及其无究观

1 数学系统的相对相容性证明与诸流派形成的历史近因

2 逻辑主义派的观点和方法

3 直觉主义派的观点和方法

……

第10讲 略论数学发明创造的心智过程

附录Ⅰ 数学轴象度概念与抽象度分析法

附录Ⅱ “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题

主要参考文献


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