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数学史(研究历史)

数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学,简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程,而且还探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此,数学史研究对象不仅包括具体的数学内容,而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容,是一门交叉性学科。

数学史既属史学领域,又属数学科学领域,因此数学史研究既要遵循史学规律,又要遵循数理科学的规律。根据这一特点,可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段,在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下,站在现代数学的高度,对古代数学内容与方法进行数学原理分析,以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。

研究数学史的意义在于:

1、数学史的科学意义

每一门科学都有其发展的历史,作为历史上的科学,既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面,今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展,或者是对历史上科学难题的解决,因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史,与自然科学相比,数学更是积累性科学,其概念和方法更具有延续性,比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则,我们今天仍在使用,诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题,长期以来一直是现代数论领域中的研究热点,数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究,并善于从历史素材中汲取养分,做到古为今用,推陈出新。我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就,七十年代开始研究中国数学史,在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面,特别是在中国传统数学机械化思想的启发下,建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法,他的工作不愧为古为今用,振兴民族文化的典范。

2、数学史的文化意义

美国数学史家M.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想,是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史,又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子,了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊(公元前600年-公元前300年)数学家强调严密的推理和由此得出的结论,因此他们不关心这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象的推理,和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察,就十分容易理解,为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学,以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们,罗马文化是外来的,罗马人缺乏独创精神而注重实用。

3、数学史的教育意义

当我们学习过数学史后,自然会有这样的感觉:数学的发展并不合逻辑,或者说,数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识,而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼,是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的,是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系,这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素,因此仅凭数学教材的学习,难以获得数学的原貌和全景,同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法,而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。

数学史研究的任务在于,弄清数学发展过程中的基本史实,再现其本来面貌,同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价,进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段,常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。

史学家的职责就是根据史料来叙述历史,求实是史学的基本准则。从17世纪始,西方历史学便形成了考据学,在中国出现更早,尤鼎盛于清代乾嘉时期,时至今日仍为历史研究之主要方法,只不过随着时代的进步,考据方法在不断改进,应用范围在不断拓宽而已。当然,应该认识到,史料存在真伪,考证过程中涉及到考证者的心理状态,这就必然影响到考证材料的取舍与考证的结果。就是说,历史考证结论的真实性是相对的。同时又应该认识到,考据也非史学研究的最终目的,数学史研究又不能为考证而考证。

不会比较就不会思考,而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较,或者说,比较是认识的开始。今日世界的发展是多极的,不同国家和地区、不同民族之间在文化交流中共同发展,因而随着多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化,异质的区域文明日益受到重视,从而不同地域的数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋活跃。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。

数学史既属史学领域,又属数学科学领域,因此,数学史研究既要遵循史学规律,又要遵循数理科学的规律。根据这一特点,可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段,在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下,站在现代数学的高度,对古代数学内容与方法进行数学原理分析,以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。

①古希腊曾有人写过《几何学史》,未能流传下来。

②5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。

③中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中,讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。

④12世纪时,古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究,也是对古典数学著作的整理和保存。

是从18世纪,由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始,而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》(1799~1802年又经拉朗德增补)为代表。从19世纪末叶起,研究数学史的人逐渐增多,断代史和分科史的研究也逐渐展开,1945年以后,更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。

1、通史研究

代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》(4卷,1880~1908)以及C.B.博耶(1894、1919D.E.史密斯(2卷,1923~1925)、洛里亚(3卷,1929~1933)等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著《古今数学思想》一书,是70年代以来的一部佳作。

2、古希腊史

许多古希腊数学家的著作被译成现代文字,在这方面作出了成绩的有J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起,著名的代数学家范德瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A.萨博的工作则更为突出,他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。

3、古埃及史

把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书,而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》(1935、1937)、《楔形文字数学书》(与萨克斯合著,1945)都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》(1951)一书,汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范德瓦尔登的《科学的觉醒》(1954)一书,则又加进古希腊数学史,成为古代世界数学史的权威性著作之一。

4、断代史

德国数学家(C.)F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》(1926~1927)一书,是断代体近现代数学史研究的开始,它成书于20世纪,但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家让亚历山大欧仁迪厄多内所写的《1700~1900数学史概论》出版之前,断代体数学史专著并不多,但却有(C.H.)H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史,从数论、概率论,直到流形概念、希尔伯特数学问题的历史等,有多种专著出现,而且不乏名家手笔。许多著名数学家参与数学史的研究,可能是基于(J.-)H.庞加莱的如下信念,即:“如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状”,或是如H.外尔所说的:“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果,我们就不可能理解近50年来数学的目标,也不可能理解它的成就。”

5、数学家传

以及他们的全集与《选集》的整理和出版,这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现,辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。

6、数学杂志

最早出现于19世纪末,M.B.康托尔(1877~1913,30卷)和洛里亚(1898~1922,21卷)都曾主编过数学史杂志,最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》(1884~1915,30卷)。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。

中国以历史传统悠久而著称于世界,在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量,探赜索隐,钩深致远,莫不用焉”。《隋书律历志》记述了圆周率计算的历史,记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中,有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。

在中国古算书的序、跋中,经常出现数学史的内容。

如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史;王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论;祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。

以上所述属于零散的片断资料,对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究,则是在乾嘉学派的影响下,在清代中晚期进行的。主要有:①对古算书的整理和研究,《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版,参预此项工作的有戴震(1724~1777)、李潢(?~1811)、阮元(1764~1849)、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789~1853)等人 ②编辑出版了《畴人传》(数学家和天文学家的传记),它“肇自黄帝,迄于昭(清)代,凡为此学者,人为之传”,它是由阮元、李锐等编辑的(1795~1799)。其后,罗士琳作“补遗”(1840),诸可宝作《畴人传三编》(1886),黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》,实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多,资料丰富,评论允当,它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。

利用现代数学概念,对中国数学史进行研究和整理,从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人,是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起,开始搜集古算书,进行考订、整理和开展研究工作的 经过半个多世纪,李俨的论文自编为《中算史论丛》(1~5集,1954~1955),钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》(1984)行世。从20世纪30年代起,两人都有通史性中国数学史专著出版,李俨有《中国算学史》(1937)、《中国数学大纲》(1958);钱宝琮有《中国算学史》(上,1932)并主编了《中国数学史》(1964)。钱宝琮校点的《算经十书》(1963)和上述各种专著一道,都是权威性著作。

从19世纪末,即有人(伟烈亚力、赫师慎等)用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。

按研究的范围又可分为内史和外史。

内史:从数学内在的原因(包括和其他自然科学之间的关系)来研究数学发展的历史;

外史:从外在的社会原因(包括政治、经济、哲学思潮等原因)来研究数学发展与其他社会因素间的关系。

数学史和数学研究的各个分支,和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系,这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。

从研究材料上说,考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料,以及对数学家的访问记录,等等,都是重要的研究对象,其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说,可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史;可以研究数学科学与人类社会的互动关系;可以研究数学思想的传播与交流史;可以研究数学家的生平等等。

1、数学史所研究的内容是:

数学史研究方法论问题

数学史通史

数学分科史

不同国家、民族、地区的数学史及其比较

不同时期的断代数学史

数学家传记

数学思想、概念、数学方法发展的历史

数学发展与其他科学、社会现象之间的关系

数学教育史

数学史文献学

2、按其研究的范围又可分为内史和外史:

内史:从数学内在的原因来研究数学发展的历史;

外史:从外在的社会原因来研究数学发展与其他社会因素间的关系。

数学发展具有阶段性,因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。学术界通常将数学发展划分为以下五个时期:

数学萌芽期(公元前600年以前);

初等数学时期(公元前600年至17世纪中叶);

变量数学时期(17世纪中叶至19世纪20年代);

近代数学时期(19世纪20年代至第二次世界大战);

现代数学时期(20世纪40年代以来)。

1、科学意义

每一门科学都有其发展的历史,作为历史上的科学,既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面,今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展,或者是对历史上科学难题的解决,因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史,与自然科学相比,数学更是积累性科学,其概念和方法更具有延续性,比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则,我们今天仍在使用,诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题,长期以来一直是现代数论领域中的研究热点,数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究,并善于从历史素材中汲取养分,做到古为今用,推陈出新。中国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就,七十年代开始研究中国数学史,在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面,特别是在中国传统数学机械化思想的启发下,建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法,他的工作不愧为古为今用,振兴民族文化的典范。

科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴,以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路,为当今科技发展决策的制定提供依据,也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识,也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图等荒唐事,避免我们在这样的问题上白费时间和精力。同时,总结中国数学发展史上的经验教训,对中国当今数学发展不无益处。

2、文化意义

美国数学史家M.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想,是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史,又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子,了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊(公元前600年-公元前300年)数学家强调严密的推理和由此得出的结论,因此他们不关心这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象的推理,和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察,就十分容易理解,为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学,以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们,罗马文化是外来的,罗马人缺乏独创精神而注重实用。

3、教育意义

当我们学习过数学史后,自然会有这样的感觉:数学的发展并不合逻辑,或者说,数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识,而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼,是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的,是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系,这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素,因此仅凭数学教材的学习,难以获得数学的原貌和全景,同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法,而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。

在一般人看来,数学是一门枯燥无味的学科,因而很多人视其为畏途,从某种程度上说,这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容,如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来,这样便可以激发学生的学习兴趣,也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。

科学史是一门文理交叉学科,从今天的教育现状来看,文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会,正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。通过数学史学习,可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时,获得人文科学方面的修养,文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌,获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。

中国数学有着悠久的历史,14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家,出现过许多杰出数学家,取得了很多辉煌成就,其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映,交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因,16世纪以后中国落后了,经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误,致使接受现代数学文明熏陶的我们,往往数典忘祖,对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就,了解中国近代数学落后的原因,中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距,以激发学生的爱国热情,振兴民族科学。

数学发展至今,不知道经历了多少人的呕心沥血,把数学历史上发生的大事的年表列出:

推荐约公元前3000年 埃及象形数字

公元前2400~前1600年 早期巴比伦泥版楔形文字,采用60进位值制记数法。已知勾股定理

公元前1850~前1650年 埃及纸草书(莫斯科纸草书与莱茵德纸草书),使用10进非位值制记数法

公元前1400~前1100年 中国殷墟甲骨文,已有10进制记数法

周公(公元前11世纪)、商高时代已知勾三、股四、弦五

约公元前600年 希腊泰勒斯开始了命题的证明

约公元前540年 希腊毕达哥拉斯学派,发现勾股定理,并导致不可通约量的发现

约公元前500年 印度《绳法经》中给出√2相当精确的值,并知勾股定理

约公元前460年 希腊智人学派提出几何作图三大问题:化圆为方、三等分角和二倍立方

约公元前450年 希腊埃利亚学派的芝诺提出悖论

公元前430年 希腊安提丰提出穷竭法

约公元前380年 希腊柏拉图在雅典创办“学园”,主张通过几何的学习培养逻辑思维能力

公元前370年 希腊欧多克索斯创立比例论

约公元前335年 欧多莫斯著《几何学史》

中国筹算记数,采用十进位值制

约公元前300年 希腊欧几里得著《几何原本》,是用公理法建立演绎数学体系的最早典范

公元前287~前212年 希腊阿基米德,确定了大量复杂几何图形的面积与体积;给出圆周率的上下界;提出用力学方法推测问题答案,隐含近代积分论思想

公元前230年 希腊埃拉托塞尼发明“筛法”

公元前225年 希腊阿波罗尼奥斯著《圆锥曲线论》

约公元前150年 中国现存最早的数学书《算数书》成书(1983~1984年间在湖北江陵出土)

约公元前100年 中国《周髀算经》成书,记述了勾股定理

中国古代最重要的数学著作《九章算术》经历代增补修订基本定形(一说成书年代为公元 50~100年间),其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献

约公元62年 希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式(海伦公式)

约公元150年 希腊托勒密著《天文学》,发展了三角学

约公元250年 希腊丢番图著《算术》,处理了大量不定方程问题,并引入一系列缩写符号,是古希腊代数的代表作

约公元263年 中国刘徽注解《九章算术》,创割圆术,计算圆周率,证明圆面积公式,推导四面体及四棱锥体积等,包含有极限思想

约公元300年 中国《孙子算经》成书,系统记述了筹算记数制,卷下“物不知数”题是孙子剩余定理的起源

公元320年 希腊帕普斯著《数学汇编》,总结古希腊各家的研究成果,并记述了“帕普斯定理”和旋转体体积计算法

公元410年 希腊许帕提娅,历史上第一位女数学家,曾注释欧几里得、丢番图等人的著作

公元462年 中国祖冲之算出圆周率在 3.1415926与3.1415927之间,并以22/7为约率,355/113为密率(现称祖率)

中国祖冲之和他的儿子祖提出“幂势既同则积不容异”的原理,现称祖原理,相当于西方的卡瓦列里原理(1635)

公元499年 印度阿耶波多著《阿耶波多文集》,总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识。已知π=3.1416,尝试以连分数解不定方程

公元600年 中国刘焯首创等间距二次内插公式,后发展出不等间距二次内插法(僧一行,724)和三次内插法(郭守敬,1280)

约公元625年 中国王孝通著《缉古算经》,是最早提出数字三次方程数值解法的著作

公元628年 印度婆罗摩笈多著《婆罗摩历算书》,已知圆内接四边形面积计算法,推进了一、二次不定方程的研究

公元656年 中国李淳风等注释十部算经,后通称《算经十书》

公元820年 阿拉伯花拉子米著《代数学》,以二次方程求解为主要内容,12世纪该书被译成拉丁文传入欧洲

约公元870年 印度出现包括零的十进制数码,后传入阿拉伯演变为现今的印度-阿拉伯数码

约公元1050年 中国贾宪提出二项式系数表(现称贾宪三角和增乘开方法)

公元1100年 阿拉伯奥马海亚姆首创用两条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根

公元1150年 印度婆什迦罗第二著《婆什迦罗文集》为中世纪印度数学的代表作,其中给出二元不定方程x⒉=1+py⒉若干特解,对负数有所认识,并使用了无理数

公元1202年 意大利L.斐波那契著《算盘书》,向欧洲人系统地介绍了印度-阿拉伯数码及整数、分数的各种算法

公元1247年 中国秦九韶著《数书九章》,创立解一次同余式的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术,相当于西方的霍纳法(1819)

公元1248年 中国李冶著《测圆海镜》,是中国现存第一本系统论述天元术的著作

约公元1250年 阿拉伯纳西尔丁图西开始使三角学脱离天文学而独立,将欧几里得《几何原本》译为阿拉伯文

公元1303年 中国朱世杰著《四元玉鉴》,将天元术推广为四元术,研究高阶等差数列求和问题

公元1325年 英国T.布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算

公元14世纪 珠算在中国普及

约公元1360年 法国N.奥尔斯姆撰《比例算法》,引入分指数概念,又在《论图线》等著作中研究变化与变化率,创图线原理,即用经、纬度(相当于横、

纵坐标)表示点的位置并进而讨论函数图像

公元1427年 阿拉伯卡西著《算术之钥》,系统论述算术、代数的原理、方法,并在《圆周论》中求出圆周率17位准确数字

公元1464年 德国J.雷格蒙塔努斯著《论一般三角形》,为欧洲第一本系统的三角学著作,其中出现正弦定律

公元1482年 欧几里得《几何原本》(拉丁文译本)首次印刷出版

公元1489年 捷克韦德曼最早使用符号+、-表示加、减运算

公元1545年 意大利G.卡尔达诺的《大术》出版,载述了S费罗(1515)、N.塔尔塔利亚(1535)的三次方程解法和L.费拉里(1544)的四次方程解法

公元1572年 意大利R.邦贝利的《代数学》出版,指出对于三次方程的不可约情形,通过虚数运算必可得三个实根,给出初步的虚数理论

公元1585年 荷兰S.斯蒂文创设十进分数(小数)的记法

公元1591年 法国F.韦达著《分析方法入门》,引入大量代数符号,改良三、四次方程解法,指出根与系数的关系,为符号代数学的奠基者

公元1592年 中国程大位写成《直指算法统宗》,详述算盘的用法,载有大量运算口诀,该书明末传入日本、朝鲜

公元1606年 中国徐光启和利玛窦合作将欧几里得《几何原本》前六卷译为中文

公元1614年 英国J.纳皮尔创立对数理论

公元1615年 德国开普勒著《酒桶新立体几何》,有求酒桶体积的方法,是阿基米德求积方法向近代积分法的过渡

公元1629年 荷兰吉拉尔最早提出代数基本定理

法国费马已得解析几何学要旨,并掌握求极大极小值方法

公元1635年 意大利(F.)B.卡瓦列里建立“不可分量原理”

公元1637年 法国R.笛卡儿的《几何学》出版,创立解析几何学

法国费马提出“费马大定理”

公元1639年 法国G.德扎格著《试论处理圆锥与平面相交情况初稿》,为射影几何先驱

公元1640年 法国B.帕斯卡发表《圆锥曲线论》

公元1642年 法国B.帕斯卡发明加减法机械计算机

公元1655年 英国J.沃利斯著《无穷算术》,导入无穷级数与无穷乘积,首创无穷大符号∞

公元1657年 荷兰C.惠更斯著《论骰子游戏的推理》,引入数学期望概念,是概率论的早期著作。在此以前B.帕斯卡、费马等已由处理赌博问题而开始考虑概率理论

公元1665年 英国I.牛顿一份手稿中已有流数术的记载,这是最早的微积分学文献,其后他在《无穷多项方程的分析》(1669年撰,1711年发表)、《流

数术方法与无穷级数》(1671年撰,1736年发表)等著作中进一步发展流数术并建立微积分基本定理

公元1666年 德国G.W.莱布尼茨写成《论组合的技术》,孕育了数理逻辑思想

公元1670年 英国I.巴罗著《几何学讲义》,引进“微分三角形”概念

约公元1680年 日本关孝和始创和算,引入行列式概念,开创“圆理”研究

公元1684年 德国G.W.莱布尼茨在《学艺》上发表第一篇微分学论文《一种求极大极小与切线的新方法》,两年后又发表第一篇积分学论文,创用积分符号

公元1687年 英国I. 牛顿的 《自然哲学的数学原理》出版,首次以几何形式发表其流数术

公元1689年 瑞士约翰第一伯努利提出“最速降曲线”问题,后导致变分法的产生

法国 G.-F.-洛必达出版《无穷小分析》,其中载有求极限的洛必达法则

公元1707年 英国I.牛顿出版《广义算术》,阐述了代数方程理论

公元1713年 瑞士雅各布第一伯努利的《猜度术》出版,载有伯努利大数律

公元1715年 英国B.泰勒出版《正的和反的增量方法》,内有他1712年发现的把函数展开成级数的泰勒公式

公元1722年 法国A.棣莫弗给出公式(cos φ+i sin φ)^n =cos nφ+ i sin nφ

公元1730年 苏格兰J.斯特林发表《微分法,或关于无穷级数的简述》,其中给出了Ν!的斯特林公式

公元1731年 法国A.-C.克莱罗著《关于双重曲率曲线的研究》,开创了空间曲线的理论

公元1736年 瑞士L.欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题

公元1742年 英国C.马克劳林出版《流数通论》,试图用严谨的方法来建立流数学说,其中给出了马克劳林展开

公元1744年 瑞士L.欧拉著《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》,标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生

公元1747年 法国J.le R. 达朗贝尔发表《弦振动研究》,导出了弦振动方程,是偏微分方程研究的开端

公元1748年 瑞士L.欧拉出版《无穷小分析引论》,与后来发表的《微分学》(1755)和《积分学》(1770)一起,以函数概念为基础综合处理微积分理论,给出了大量重要的结果,标志着微积分发展的新阶段

公元1750年 瑞士G.克莱姆给出解线性方程组的克莱姆法则

瑞士L.欧拉发表多面体公式:V-E+F =2

公元1770年 法国J.-L.拉格朗日深入探讨代数方程根式求解问题,考虑有理函数当变量发生置换时所取值的个数,成为置换群论的先导

德国J.H.朗伯开创双曲函数的全面研究

公元1777年 法国G.-L.L布丰提出投针问题,是几何概率理论的早期研究

公元1779年 法国□.贝祖著《代数方程的一般理论》,系统论述消元法理论

公元1788年 法国J.-L.拉格朗日的《分析力学》出版,使力学分析化,并总结了变分法的成果

公元1794年 法国A.-M.勒让德的《几何学基础》出版,是当时标准的几何教科书

法国建立巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校

公元1795年 法国G.蒙日发表《关于把分析应用于几何的活页论文》,成为微分几何学先驱

公元1797年 法国J.-L.拉格朗日著《解析函数论》,主张以函数的幂级数展开为基础建立微积分理论

挪威C.韦塞尔最早给出复数的几何表示

公元1799年 法国G.蒙日出版《画法几何学》,使画法几何成为几何学的一个专门分支

德国C.F.高斯给出代数基本定理的第一个证明

公元1799~1825年 法国P.-S.拉普拉斯的5卷巨著《天体力学》出版,其中包含了许多重要的数学贡献,如拉普拉斯方程、位势函数等

公元1801年 德国C.F.高斯的《算术研究》出版,标志着近代数论的起点

公元1802年 法国J.E.蒙蒂克拉与拉朗德合撰的《数学史》共4卷全部出版,成为最早的较系统的数学史著作

公元1807年 法国J.-B.-J.傅里叶在热传导研究中提出任意函数的三角级数表示法(傅里叶级数),他的思想总结在1822年发表的《热的解析理论》中

公元1810年 法国J.-D.热尔岗创办《纯粹与应用数学年刊》,这是最早的专门数学期刊

公元1812年 英国剑桥分析学会成立

法国 P.-S.拉普拉斯著《概率的解析理论》,提出概率的古典定义,将分析工具引入概率论

公元1814年 法国 A.-L.柯西宣读复变函数论第一篇重要论文《关于定积分理论的报告》(1827年正式发表),开创了复变函数论的研究

公元1817年 捷克B.波尔查诺著《纯粹分析的证明》,首次给出连续性、导数的恰当定义,提出一般级数收敛性的判别准则

公元1818年 法国S.-D.泊松导出波动方程解的“泊松公式”

公元1821年 法国A.-L.柯西出版《代数分析教程》,引进不一定具有解析表达式的函数概念;独立于B.波尔查诺提出极限、连续、导数等定义和级数收敛判别准则,是分析严密化运动中第一部影响深远的著作

公元1822年 法国J.-V.彭赛列著《论图形的射影性质》,奠定了射影几何学基础

公元1826年 挪威N.H.阿贝尔著《关于很广一类超越函数的一个一般性质》,开创了椭圆函数论研究

德国A.L.克雷尔创办《纯粹与应用数学杂志》

法国J.-D.热尔岗与J.-V.彭赛列各自建立对偶原理

公元1827年 德国C.F.高斯著《关于曲面的一般研究》,开创曲面内蕴几何学

德国A.F.麦比乌斯著《重心演算》,引进齐次坐标,与J.普吕克等开辟了射影几何的代数方向

公元1828年 英国G.格林著《数学分析在电磁理论中的应用》,发展位势理论

公元1829年 德国C.G.J.雅可比著《椭圆函数论新基础》,是椭圆函数理论的奠基性著作

俄国Н.И.罗巴切夫斯基发表最早的非欧几何论著《论几何基础》

公元1829~1832年 法国E.伽罗瓦彻底解决代数方程根式可解性问题,确立了群论的基本概念

公元1830年 英国G.皮科克著《代数通论》,首创以演绎方式建立代数学,为代数中更抽象的思想铺平了道路

公元1832年 匈牙利J.波尔约发表《绝对空间的科学》,独立于Н.И.罗巴切夫斯基提出了非欧几何思想

瑞士J.施泰纳著《几何形的相互依赖性的系统发展》,利用射影概念从简单结构构造复杂结构,发展了射影几何

公元1836年 法国J.刘维尔创办法文的《纯粹与应用数学杂志》

公元1837年 德国P.G.L.狄利克雷提出现今通用的函数定义(变量之间的对应关系)

公元1840年 法国 A.-L.柯西证明了微分方程初值问题解的存在性

公元1841~1856年 德国K.(T.W.)外尔斯特拉斯关于分析严密化的工作,主张将分析建立在算术概念的基础之上,给出极限的ε-δ说法和级数一致收敛性概

念;同时在幂级数基础上建立复变函数论

公元1843年 英国W.R.哈密顿发现四元数

公元1844年 德国E.E.库默尔创立理想数的概念

德国H.G.格拉斯曼出版《线性扩张论》。建立Ν个分量的超复数系,提出了一般的Ν维几何的概念

公元1847年 德国K.G.C.von 施陶特著《位置的几何学》,不依赖度量概念建立射影几何体系

公元1849~1854年 英国的A.凯莱提出抽象群概念

公元1851年 德国(G.F.)B.黎曼著《单复变函数的一般理论基础》,给出单值解析函数的黎曼定义,创立黎曼面的概念,是复变函数论的一篇经典性论文

公元1854年 德国(G.F.)B.黎曼著《关于几何基础的假设》,创立Ν维流形的黎曼几何学

英国G.布尔出版《思维规律的研究》,建立逻辑代数(即布尔代数)

公元1855年 英国A.凯莱引进矩阵的基本概念与运算

公元1858年 德国(G.F.)B.黎曼给出ζ函数的积分表示与它满足的函数方程,提出黎曼猜想德国A. F. 麦比乌斯发现单侧曲面(麦比乌斯带)

公元1859年 中国李善兰与英国的伟烈亚力合译的《代数学》、《代微积拾级》以及《几何原本》后9卷中文本出版,这是翻译西方近代数学著作的开始

中国李善兰建立了著名的组合恒等式(李善兰恒等式)

公元1861年 德国K.(T.W.)外尔斯特拉斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微函数的例子

公元1863年 德国P.G.L.狄利克雷出版《数论讲义》,是解析数论的经典文献

公元1865年 伦敦数学会成立,是历史上第一个成立的数学会

公元1866年 俄国П.Л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立关于独立随机变量序列的大数律,成为概率论研究的中心课题

公元1868年 意大利E.贝尔特拉米著《论非欧几何学的解释》,在伪球面上实现罗巴切夫斯基几何,这是第一个非欧几何模型

德国(G.F.)B.黎曼的《用三角级数表示函数的可表示性》正式发表,建立了黎曼积分理论

公元1871年 德国(C.)F.克莱因在射影空间中适当引进度量而得到双曲几何与椭圆几何,这是不用曲面而获得的非欧几何模型

德国G.(F.P.)康托尔在三角级数表示的惟一性研究中首次引进了无穷集合的概念,并在以后的一系列论文中奠定了集合论的基础

公元1872年 德国(C.)F.克莱因发表《埃尔朗根纲领》,建立了把各种几何学看作为某种变换群的不变量理论的观点,以群论为基础统一几何学

实数理论的确立:G.(F.P.)康托尔的基本序列论;J.W.R.戴德金的分割论;K.(T.W.)外尔斯特拉斯的单调序列论

公元1873年 法国C.埃尔米特证明e的超越性

公元1874年 挪威M.S.李开创连续变换群的研究,现称李群理论

公元1879年 德国(F.L.)G.弗雷格出版《概念语言》,建立量词理论,给出第一个严密的逻辑公理体系,后又出版《算术基础》(1884)等著作,试图把数学建立在逻辑的基础上

公元1881~1884年 德国(C.)F.克莱因与法国(J.-)H.庞加莱创立自守函数论

公元1881~1886年 法国(J.-)H.庞加莱关于微分方程确定的曲线的论文,创立微分方程定性理论

公元1882年 德国M.帕施给出第一个射影几何公理系统

德国F.von林德曼证明π的超越性

公元1887年 法国(J.-)G.达布著《曲面的一般理论》,发展了活动标架法

公元1889年 意大利G.皮亚诺著《算术原理新方法》,给出自然数公理体系

公元1894年 荷兰T.(J.)斯蒂尔杰斯发表《连分数的研究》,引进新的积分(斯蒂尔杰斯积分)

公元1895年 法国(J.-)H.庞加莱著《位置几何学》,创立用剖分研究流形的方法,为组合拓扑学奠定基础

德国F.G.弗罗贝尼乌斯开始群的表示理论的系统研究

公元1896年 德国H.闵科夫斯基著《数的几何》,创立系统的数的几何理论

法国J.(-S.)阿达马与瓦里-布桑证明素数定理

公元1897年 第一届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行

公元1898年 英国K.皮尔逊创立描述统计学

公元1899年 德国D.希尔伯特出版《几何基础》,给出历史上第一个完备的欧几里得几何公理系统,开创了公理化方法,并预示了数学基础的形式主义观点

公元1900年 德国D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作题为《数学问题》的报告。提出了23个著名的数学问题

1、无理数

大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”,在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致了当时认识上的“危机”,从而产生了第一次数学危机。

到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之却可以由几何量来表示出来,整数的权威地位开始动摇,而几何学的身份升高了;危机也表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演绎推理,并由此建立了几何公理体系,这不能不说是数学思想上的一次巨大革命!

2、无穷小

18世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

18世纪的数学思想的确是不严密的,直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念也不清楚,无穷大概念不清楚,以及发散级数求和的任意性,符号的不严格使用,不考虑连续就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了严格的基础。

3、罗素悖论

数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

1897年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后,康托发现了很相似的悖论。1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:“理发师是否自己给自己刮脸”?如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地”。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。


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